Аналіти́чний про́стір — це окільцьований простір, локально влаштований як аналітична множина.
Аналітичний простір — це окільцьований простір, такий, що кожна точка
має відкритий окіл U, для якого
ізоморфний деякій аналітичній множині
, отриманій з когерентного пучка ідеалів
голоморфних функцій у деякій області B.
Зокрема,
є когерентним пучком локальних
-алгебр.
Наприклад, коли
для всіх обраних U, то
і аналітичний простір є (комплексним) аналітичним многовидом.
Якщо для локальної моделі
маємо
— когерентний пучок ідеалів, що з відкритою підмножиною
пов'язує
, то аналітичний простір називається зведеним.
Оскільки
вкладається в пучок
неперервних функцій на A, то для зведеного аналітичного простору
.
Для кожного пучка комутативних кілець
на X позначимо
його нільрадикал, а саме:
— ідеал нільпотентних елементів в
,
.
Для зведеного аналітичного простору
маємо
.
Для довільного аналітичного простору
визначимо його зведення як
, де
.
Морфізми аналітичних просторів
— це морфізми окільцьованих просторів, тобто пари
, де
— неперервне відображення топологічних просторів, а
- гомоморфізм пучків
-алгебр.
Наприклад, для довільного аналітичного простору
морфізм зведення
складається з тотожного відображення
і канонічної проєкції
.
є функтором з категорії аналітичних просторів до повної підкатегорії зведених аналітичних просторів і
є природним перетворенням.
Морфізм зведених аналітичних просторів допускає простий опис: це неперервне відображення
, таке, що для кожної точки
і кожного
, що розглядається як паросток неперервної функції, паросток
належить
.
Аналогічні означення (але не результати) формулюються над іншими повними полями k з недискретним нормуванням.
Для
йдеться про дійсні аналітичні функції, дійсні аналітичні простори, тощо.
Властивість
притаманна лише алгебрично замкненим полям k.
Тому у випадку
лише зведені дійсні аналітичні простори наповнені геометричним змістом.
Крім того, структурний пучок
на дійсному аналітичному просторі не обов'язково є когерентним.
Аналітичні підмножини A комплексних аналітичних просторів
визначаються як носії
для когерентного пучка ідеалів
.
Вони самі є аналітичними просторами і можуть бути задані локальними рівняннями (теорема Картана-Ока): нехай A — замкнена підмножина X і для довільної точки
існують такий окіл
в X і такі елементи
, що
.
Тут f(x) визначена як
.
Тоді A є аналітичною множиною, а саме носієм
для когерентного ідеалу
, де U відкрита в X.
Наприклад, множина S особливих точок
(тих, що не є регулярними) аналітична.
Для кожної точки аналітичного простору
стебло
є аналітичною локальною k-алгеброю, тобто факторалгеброю
нетерової алгебри
збіжних рядів від m змінних.
Скінченнопороджений модуль M над
має вимірність Шевале
, це найменша довжина d набору
, \dots,
(
— максимальний ідеал
) такого, що
— скінченновимірний k-векторний простір.
Зокрема,
.
Глобальна вимірність X - це
.
Для незвідної аналітичної множини A функція
постійна на A (і приймає значення
).
У кодотичного простору
вимірність
.
Точка x аналітичного простору X називається неособливою (або регулярною), якщо існує окіл
такий, що локальна модель
ізоморфна області
в
.
Ця умова еквівалентна рівності
.
Якщо X зведений, то множина S особливих точок ніде не щільна в X, отже має ковимірність
щонайменше 1 в кожній точці
.
Множина S особливих точок аналітичного простору X порожня тоді і лише тоді, коли X — аналітичний многовид.
Якщо
, для достатньо малої
і відповідної локальної моделі
топологічна вимірність
.
Непорожня аналітична множина A комплексного аналітичного простору X називається незвідною, якщо вона не є об'єднанням аналітичних множин
та
.
Кожна аналітична множина A в X єдиним чином розкладається в об'єднання непорожніх незвідних аналітичних множин
таких, що (1) сім'я
локально скінченна в X; (2) для кожної пари
,
, перетин
ніде не щільний в
.
Множини
називаються незвідними компонентами множини A.
Один з класів комплексних аналітичних просторів становлять простори Штайна
— такі, що для кожного когерентного пучка
-модулів
маємо
при
.
Для аналітичних просторів X зі зліченною базою топології штайновість еквівалентна умові
для кожного когерентного пучка ідеалів
.
Штайновість аналітичного простору X еквівалентна штайновості його зведення
.
Близькість теорії просторів Штайна до аналізу і топології ілюструється принципом Ока: на зведеному просторі Штайна голоморфні задачі, які можуть бути сформульовані в термінах когомологій, (задачі Кузена тощо) мають голоморфний розв'язок тоді і лише тоді, коли вони мають неперервний розв'язок.
- Велика українська енциклопедія
- Abhyankar S. S., Local analytic geometry, Pure and Applied Mathematics, vol. XIV, Academic Press, New York-London, 1964.
- Gunning R. C., Rossi H., Analytic functions of several complex variables, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1965.
- Grauert H., Remmert R., Analytische Stellenalgebren, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 176, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1971.
- Grauert H., Remmert R., Theorie der Steinschen Räume, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 227, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1977.