Архімедове тіло
В геометрії архімедове тіло (архімедів многогранник) — це високо симетричний напівправильний опуклий многогранник, гранями якого є два або більше типів правильних многокутників, що примикають до ідентичних вершин. Вони відрізняються від платонових тіл (правильних многогранників), які складаються тільки з одного типу многокутників в однакових вершинах, і від многогранників Джонсона, правильні многокутні грані яких належать різним типам вершин.
Тут поняття «ідентичні вершини» означає, що для будь-яких двох вершин існує ізометрія всього тіла, яка переводить одну вершину в іншу. Іноді тільки потрібно, щоб грані, прилеглі до однієї вершини, були ізометричними граням при іншій вершині. Ця різниця в термінах визначає, вважається подовжений квадратний гіробікупол[ru] (псевдоромбокубооктаедр) архімедовим тілом чи многогранником Джонсона — це єдиний опуклий многогранник, в якому многокутні межі примикають до вершини однаковим способом у кожній вершині, але многогранник не має глобальної симетрії, яка б переводила будь-яку вершину в будь-яку іншу. Ґрунтуючись на існуванні псевдоромбокубооктаедра, Ґрюнбаум[1] запропонував термінологічну відмінність, у якій архімедове тіло визначається як таке, що має одну і ту ж вершинну фігуру в кожній вершині (включно з подовженим квадратним гіробікуполом), тоді як однорідний многогранник визначається як тіло, у якого будь-яка вершина симетрична будь-який інший (що виключає гіробікупол[ru]).
Призми і антипризми, групами симетрій яких є діедричні групи, як правило, не вважаються архімедовим тілами, незважаючи на те, що вони підпадають під визначення, дане вище. З цим обмеженням існує тільки скінченне число архімедових тіл. Всі тіла, крім подовженого квадратного гіробікупола, можна отримати побудовами Вітгоффа з платонових тіл за допомогою тетраедричної, октаедричної[en] і ікосаедричної[ru] симетрій.
Архімедові тіла отримали назву на честь Архімеда, який обговорював їх у нині втраченій роботі. Папп посилається на цю роботу і стверджує, що Архімед перелічив 13 многогранників[1]. За часів Відродження художники і математики цінували чисті форми і перевідкрити їх усі. Ці дослідження були майже повністю закінчені близько 1620 року Йоганном Кеплером[2], який визначив поняття призм, антипризм і неопуклих тіл, відомих як тіла Кеплера - Пуансо.
Кеплер, можливо, знайшов також подовжений квадратний гіробікупол (псевдоромбоікосаедр) — щонайменше, він стверджував, що є 14 архімедових тіл. Однак його опубліковані переліки включають тільки 13 однорідних многогранників, і перше ясне твердження про існування псевдоромбоікосаедра зробив 1905 року Дункан Соммервіль[1].
Існує 13 архімедових тіл (не рахуючи подовженого квадратного гіробікупола; 15, якщо враховувати дзеркальні відображення двох енантіоморфів, які нижче перелічені окремо).
Тут вершинна конфігурація відноситься до типів правильних многокутників, які примикають до вершини. Наприклад, вершинна конфігурація (4,6,8) означає, що квадрат, шестикутник і восьмикутник зустрічаються у вершині (порядок переліку береться за годинниковою стрілкою відносно вершини).
| Назва (альтернативна назва) |
Шлефлі Коксетер |
Прозорий | Непрозорий | Розгортка | Вершинна фігура |
Граней | Ребер | Вершин | Об'єм (за одинич- ного ребра) |
Група точок | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Зрізаний тетраедр | {3,3}  
|
 (Обертання) |
|
|
3.6.6
|
8 | 4 трикутники 4 шестикутники |
18 | 12 | 2.710576 | Td |
| Кубооктаедр (ромботетраедр) |
r{4,3} або rr{3,3} або
|
 (Обертання) |
|
|
3.4.3.4
|
14 | 8 трикутників 6 квадратів |
24 | 12 | 2.357023 | Oh |
| Зрізаний куб | t{4,3}
|
 (Обертання) |
|
|
3.8.8
|
14 | 8 трикутників 6 восьмикутників |
36 | 24 | 13.599663 | Oh |
| Зрізаний октаедр (зрізаний тетратераедр) |
t{3,4} або tr{3,3} або
|
 |
|
|
4.6.6
|
14 | 6 квадратів 8 шестикутників |
36 | 24 | 11.313709 | Oh |
| Ромбокубооктаедр (малий ромбокубооктаедр) |
rr{4,3}
|
 (Обертання) |
|
|
3.4.4.4
|
26 | 8 трикутників 18 квадратів |
48 | 24 | 8.714045 | Oh |
| Зрізаний кубооктаедр (великий ромбокубооктаедр) |
tr{4,3}
|
 (Обертання) |
|
|
4.6.8
|
26 | 12 квадратів 8 шестикутників 6 восьмикутників |
72 | 48 | 41.798990 | Oh |
| Кирпатий куб (кирпатий кубоктаедр) |
sr{4,3}
|
 (Обертання) |
|
|
3.3.3.3.4
|
38 | 32 трикутники 6 квадратів |
60 | 24 | 7.889295 | O |
| Ікосододекаедр | r{5,3}
|
 (Обертання) |
|
|
3.5.3.5
|
32 | 20 трикутників 12 п'ятикутників |
60 | 30 | 13.835526 | Ih |
| Зрізаний додекаедр | t{5,3}
|
 (Обертання) |
|
|
3.10.10
|
32 | 20 трикутників 12 десятикутників |
90 | 60 | 85.039665 | Ih |
| Зрізаний ікосаедр | t{3,5}
|
 (Обертання) |
|
|
5.6.6
|
32 | 12 п'ятикутників 20 шестикутників |
90 | 60 | 55.287731 | Ih |
| Ромбоікосододекаедр (малий ромбоікосододекаедр) |
rr{5,3}
|
 (Обертання) |
|
|
3.4.5.4
|
62 | 20 трикутників 30 квадратів 12 п'ятикутників |
120 | 60 | 41.615324 | Ih |
| Ромбозрізаний ікосододекаедр | tr{5,3}
|
 (Обертання) |
|
|
4.6.10
|
62 | 30 квадратів 20 шестикутників 12 десятикутників |
180 | 120 | 206.803399 | Ih |
| Кирпатий додекаедр (кирпатий ікосододекаедр) |
sr{5,3}
|
 (Обертання) |
|
|
3.3.3.3.5
|
92 | 80 трикутників 12 п'ятикутників |
150 | 60 | 37.616650 | I |
Деякі визначення напівправильних многогранників включають ще одне тіло — подовжений квадратний гіробікупол або «псевдоромбокубооктаедр»[3].
Число вершин дорівнює відношенню 720° до кутового дефекту при вершині.
Кубоктаедр і ікосододекаедр є реберно-однорідними і називаються квазіправильними[ru].
Дуальні многогранники архімедових тіл називаються каталановими тілами. Разом з біпірамідами і трапецоедрами вони є гране-однорідними тілами з правильними вершинами.
Кирпатий куб і кирпатий додекаедр хіральні, оскільки вони з'являються в лівосторонньому і правосторонньому варіантах. Якщо щось має кілька видів, які є тривимірним дзеркальним відображенням один одного, ці форми називають енантіоморфами (ця назва застосовується також для деяких форм хімічних сполук).
Різні архімедові і платонові тіла можуть бути отримані одне з одного за допомогою декількох операцій. Починаючи з платонових тіл, можна використовувати операцію зрізання кутів. Для збереження симетрії зрізання виконується площиною, перпендикулярною до прямої, що з'єднує кут з центром многокутника. Залежно від того, наскільки глибоко виконується зрізання (див. таблицю нижче), отримаємо різні платонові і архімедові (й інші) тіла. Розширення[ru] або скошування[ru] здійснюється шляхом руху граней у напрямку від центра (на однакову відстань, щоб зберегти симетрію) і створенням, потім, опуклої оболонки. Розширення з поворотом здійснюється також обертанням граней, це ламає прямокутники, що виникають на місцях ребер, на трикутники. Остання побудова, яке ми тут розглянемо, це зрізання як кутів, так і ребер. Якщо нехтувати масштабування, розширення можна також розглядати як зрізання кутів і ребер, але з певним відношенням між зрізаннями кутів і ребер.
| Симетрія | Тетраедрична
|
Октаедрична[en] 
|
Ікосаедрична 
| |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Початкове тіло Операція |
Символ {p, q}  
|
Тетраедр {3,3} 
|
Куб {4,3} 
|
Октаедр {3,4} 
|
Додекаедр {5,3} 
|
Ікосаедр {3,5} 
|
| Зрізання (t) | t{p, q}
|
Зрізаний тетраедр
|
Зрізаний куб
|
Зрізаний октаедр
|
Зрізаний додекаедр
|
Зрізаний ікосаедр
|
| Повне зрізання (r) Амвон (a) |
r{p, q}
|
Тетратетраедр
|
Кубооктаедр
|
Ікосододекаедр
| ||
| Глибоке зрізання[en] (2t) (dk) |
2t{p, q}
|
Зрізаний тетраедр
|
Зрізаний октаедр
|
Зрізаний куб
|
Зрізаний ікосаедр
|
Зрізаний додекаедр
|
| Подвійне повне зрізання (2r) Двоїстий (d) |
2r{p, q}
|
Тетраедр
|
Октаедр
|
Куб
|
Ікосаедр
|
Додекаедр
|
| Скошування (rr) Розширення (e) |
rr{p, q}
|
Кубооктаедр
|
Ромбокубооктаедр
|
Ромбоікосододекаедр 
| ||
| Кирпате спрямлення (sr) Спрямлення[en] (s) |
sr{p, q}
|
Кирпатий тетратетраедр
|
Кирпатий куб
|
Кирпатий ікосододекаедр
| ||
| скіс-зрізання[en] (tr) Скошування (b) |
tr{p, q}
|
Зрізаний октаедр
|
Зрізаний кубооктаедр
|
Ромбозрізаний ікосододекаедр
| ||
Зауважимо двоїстість між кубом і октаедром і між додекаедром і ікосаедром. Також, частково внаслідок самодвоїстості тетраедра, тільки одне архімедове тіло має тільки одну тетраедричну симетрію.
- Аперіодична мозаїка
- Архімедів граф
- Однорідний многогранник
- Тороїдальний многогранник
- Квазікристал
- Напівправильний многогранник
- Правильний многогранник
- ↑ а б в Grünbaum, 2009.
- ↑ Field, 1997, с. 241—289.
- ↑ Malkevitch, 1988, с. 85.
- Field J. . Rediscovering the Archimedean Polyhedra: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro, and Johannes Kepler // Archive for History of Exact Sciences. — Springer, 1997. — Vol. 50, no. 3-4. — ISSN 0003-9519.
- Grünbaum, Branko. . An enduring error // Elemente der Mathematik. — 2009. — Vol. 64, no. 3. — P. 89–101. — DOI:10.4171/EM/120.. Перепечатано в The Best Writing on Mathematics 2010. — Princeton University Press, 2011. — P. 18–31.
- Malkevitch, Joseph. . Shaping Space: A Polyhedral Approach / M. Senechal, G. Fleck. — Boston : Birkhäuser, 1988. — P. 80–92.
- Pugh, Anthony. . Polyhedra: A visual approach. — California : University of California Press Berkeley, 1976. — ISBN 0-520-03056-7. Chapter 2
- Udaya, Jayatilake. . Calculations on face and vertex regular polyhedral // Mathematical Gazette. — 2005. — Vol. 89, no. 514. — P. 76–81.
- Williams, Robert. . The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — Dover Publications, Inc., 1979. — ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)
- Weisstein, Eric W. Archimedean solid(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Archimedean Solids [Архівовано 20 лютого 2016 у Wayback Machine.] by Eric W. Weisstein, Wolfram Demonstrations Project .
- Paper models of Archimedean Solids and Catalan Solids [Архівовано 20 лютого 2016 у Wayback Machine.]
- Free paper models (nets) of Archimedean solids [Архівовано 6 лютого 2016 у Wayback Machine.]
- The Uniform Polyhedra [Архівовано 11 лютого 2008 у Wayback Machine.] by Dr. R. Mäder
- Virtual Reality Polyhedra [Архівовано 23 лютого 2008 у Wayback Machine.], The Encyclopedia of Polyhedra by George W. Hart
- Penultimate Modular Origami [Архівовано 15 липня 2010 у Wayback Machine.] by James S. Plank
- Interactive 3D polyhedra на Java
- Solid Body Viewer[недоступне посилання] Інтерактивний перегляд 3D-многогранників, який дозволяє зберегти модель у форматі svg, stl або obj.
- Stella: Polyhedron Navigator [Архівовано 9 липня 2010 у Wayback Machine.]: Програмне забезпечення для створення зображень, багато з яких є на цій сторінці.
- Paper Models of Archimedean (and other) Polyhedra [Архівовано 25 січня 2021 у Wayback Machine.]
