Багатокутні числа

Не плутати з центрованими багатокутними числами.

Багатокутне число (полігональне число) — це число, яке можна представити у вигляді крапок (камінчиків), розташованих у вигляді правильного многокутника. Крапки вважаються одиницями (альфами). Багатокутні числа — один з типів фігурних чисел.

Багатокутні числа можуть бути згенеровані за допомогою простого правила обчислення. Треба задати арифметичну прогресію з різницею $d$ ( $d$ — натуральне число). Найпростіша послідовність — це послідовність натуральних чисел ( $d=1$ ). Всі наступні послідовності будуть утворенні додаванням до одиниці різниці $d$ . Наведемо приклади:

Трикутні числа. Різниця $d=1$ приводить нас до суми $1+2+3+4+\cdots$ , часткові суми якої утворюють послідовність трикутних чисел $1,3,6,10,\dots$ .

Квадратні числа. Різниця $d=2$ приводить нас до суми $1+3+5+7+\cdots$ , часткові суми якої утворюють послідовність квадратних чисел $1,4,9,16,\dots$ .

П'ятикутні числа. Різниця $d=3$ приводить нас до суми $1+4+7+11+\cdots$ , часткові суми якої утворюють послідовність п'ятикутних чисел $1,5,12,22,\dots$ .

Шестикутні числа. Різниця $d=4$ приводить нас до суми $1+5+9+13+\cdots$ , часткові суми якої утворюють послідовність шестикутних чисел $1,6,15,28,\dots$ .

Інколи $0$ визначається як нульове число. Згідно з цією умовою послідовність, наприклад, трикутних чисел приймає наступний вигляд $0,1,3,6,10$ .

10 — четверте число з трикутних чисел Трикутні числа.
16 — четверте число з квадратних чисел Квадратні числа.
22 — четверте число з п'ятикутних чисел П'ятикутні числа.
28 — четверте число з шестикутних чисел Шестикутні числа.

Формула

Якщо $s$ — кількість сторін у многокутнику, формула $n$ -го $s$ -кутного числа $P(s,n)$ наступна:

P(s,n)={\frac {(s-2)n^{2}-(s-4)n}{2}}

,

або

P(s,n)=(s-2){\frac {n(n-1)}{2}}+n

.

$N$ -те $s$ -кутного число також пов'язане з трикутними числами $T_{n}$ таким чином:

P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n=(s-3)T_{n-1}+T_{n}\,.

Звідси

{\begin{aligned}P(s,n+1)-P(s,n)&=(s-2)n+1\,,\\P(s+1,n)-P(s,n)&=T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}\,.\end{aligned}}

Для заданого $s$ -кутного числа $P(s,n)=x$ можна знайти $n$ та $s$ за допомогою формул:

n={\frac {{\sqrt {8(s-2)x+{(s-4)}^{2}}}+(s-4)}{2(s-2)}}

,

s=2+{\frac {2}{n}}\cdot {\frac {x-n}{n-1}}

.

Кожне шестикутне число є трикутним числом

Застосовуючи формулу наведену вище, маємо

P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n

.

Якщо сторін 6, то

P(6,n)=4T_{n-1}+n

,

але оскільки

T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}

,

то звідси випливає, що

P(6,n)={\frac {4n(n-1)}{2}}+n={\frac {2n(2n-1)}{2}}=T_{2n-1}

.

Отже, кожне $n$ -те шестикутне число $P(6,n)$ також є $(2n-1)$ -м трикутним числом $T_{2n-1}$ . Будь-яке шестикутне число можна знайти просто взявши непарні трикутні числа : 1, 3, 6, 10,15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, …

Таблиця значень

Перші 6 значень у стовпці «сума обернених значень» (з трикутних по восьмикутні числа) обраховуються в вище наведеній задачі, що також дає загальну формулу для будь-якої кількості сторін, за умовою дигамма функції.^[1]

$s$	Назва	Формула	$n$										Сума обернених значень^[1]^[2]	OEIS
$s$	Назва	Формула	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Сума обернених значень^[1]^[2]	OEIS
3	Трикутні	$.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2(n2 + n)$	1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	2^[1]	A000217
4	Квадратні	$1 / 2 (2 n 2 - 0 n) = n 2$	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	$π$ ²/6^[1]	A000290
5	П'ятикутні	$1 / 2 (3 n 2 - n)$	1	5	12	22	35	51	70	92	117	145	$3 ln3 - π \sqrt 3 / 3$ ^[1]	A000326
6	Шестикутні	$1 / 2 (4 n 2 - 2 n) = 2 n 2 — n$	1	6	15	28	45	66	91	120	153	190	$2 ln 2$ ^[1]	A000384
7	Семикутні	$1 / 2 (5 n 2 - 3 n)$	1	7	18	34	55	81	112	148	189	235	${\begin{matrix}{\tfrac {2}{3}}\ln 5\\+{\tfrac {{1}+{\sqrt {5}}}{3}}\ln {\tfrac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{2}}\\+{\tfrac {{1}-{\sqrt {5}}}{3}}\ln {\tfrac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{2}}\\+{\tfrac {\pi {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}}{15}}\end{matrix}}$ ^[1]	A000566
8	Восьмикутні	$1 / 2 (6 n 2 - 4 n) = 3 n 2 — 2 n$	1	8	21	40	65	96	133	176	225	280	$3 / 4 ln 3 + π \sqrt 3 / 12$ ^[1]	A000567
9	Дев'ятикутні	$1 / 2 (7 n 2 - 5 n)$	1	9	24	46	75	111	154	204	261	325		A001106
10	Десятикутні	$1 / 2 (8 n 2 - 6 n) = 4 n 2 — 3 n$	1	10	27	52	85	126	175	232	297	370	$ln 2 + π / 6$	A001107
11	11-кутні	$1 / 2 (9 n 2 - 7 n)$	1	11	30	58	95	141	196	260	333	415		A051682
12	12-кутні	$1 / 2 (10 n 2 - 8 n)$	1	12	33	64	105	156	217	288	369	460		A051624
13	13-кутні	$1 / 2 (11 n 2 - 9 n)$	1	13	36	70	115	171	238	316	405	505		A051865
14	14-кутні	$1 / 2 (12 n 2 - 10 n)$	1	14	39	76	125	186	259	344	441	550	$2 / 5 ln 2 + 3 / 10 ln 3 + π \sqrt 3 / 10$	A051866
15	15-кутні	$1 / 2 (13 n 2 - 11 n)$	1	15	42	82	135	201	280	372	477	595		A051867
16	16-кутні	$1 / 2 (14 n 2 - 12 n)$	1	16	45	88	145	216	301	400	513	640		A051868
17	17-кутні	$1 / 2 (15 n 2 - 13 n)$	1	17	48	94	155	231	322	428	549	685		A051869
18	18-кутні	$1 / 2 (16 n 2 - 14 n)$	1	18	51	100	165	246	343	456	585	730	$4 / 7 ln 2 - \sqrt 2 / 14 ln (3 - 2 \sqrt 2)$ $+ π (1 + \sqrt 2) / 14$	A051870
19	19кутні	$1 / 2 (17 n 2 - 15 n)$	1	19	54	106	175	261	364	484	621	775		A051871
20	20-кутні	$1 / 2 (18 n 2 - 16 n)$	1	20	57	112	185	276	385	512	657	820		A051872
21	21-кутні	$1 / 2 (19 n 2 - 17 n)$	1	21	60	118	195	291	406	540	693	865		A051873
22	22-кутні	$1 / 2 (20 n 2 - 18 n)$	1	22	63	124	205	306	427	568	729	910		A051874
23	23-кутні	$1 / 2 (21 n 2 - 19 n)$	1	23	66	130	215	321	448	596	765	955		A051875
24	24-кутні	$1 / 2 (22 n 2 - 20 n)$	1	24	69	136	225	336	469	624	801	1000		A051876
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
10000	10000-кутні	$1 / 2 (9998 n 2 - 9996 n)$	1	10000	29997	59992	99985	149976	209965	279952	359937	449920		A167149

Онлайн енциклопедія послідовностей цілих чисел уникає використання термінів з грецькими префіксами (наприклад, "восьмикутній") і надає перевагу числовим позначенням (наприклад, «8-кутний»).

Властивість цієї таблиці виражена наступною тотожністю (див. A086270 [Архівовано 13 квітня 2021 у Wayback Machine.]) :

2\,P(s,n)=P(s+k,n)+P(s-k,n),

де

k=0,1,2,3,...,s-3.

Чи є число багатокутним

Задача 1. (інколи її називають задачею Діофанта). Для заданого натуральне число $N>2$ , потрібно визначити чи є воно багатокутним числом $P_{n}^{(k)}$ і якщо так, то для яких значень $k$ , $n$ . Діофант сформулював цю проблему так: «визначити скільки разів задане число зустрічається серед усіх можливих багатокутних чисел». Алгоритм розв'язку задачі:^[3].

Випишемо всі натуральні дільники числа $2N$ (включаючи $1$ та $2N$ ).
Випишемо всі натуральні дільники числа $2N-2$ .
З першого набору виберемо ті числа, які на одиницю більші за будь-яке число з другого набору. Ці числа відповідають $n$ .
Для кожного вибраного $n$ обчислюємо $k={\dfrac {2N-2}{n-1}}-{\dfrac {2N}{n}}+2$ .
Відкинемо пари $(n,k)$ , де $k<3$ .

Відповідно, всі пари $P_{n}^{(k)}$ , що залишилися, рівні $N$ .

Приклад 1. Нехай $N=105$ .

Дільники $2N=210$ : $1,2,3,5,6,7,10,14,15,21,30,35,42,70,105,210$ .
Дільники $2N-2=208$ : $1,2,4,8,13,16,26,52,104,208$ .
Виписуємо $n=2,3,5,14,105$ .
Відповідно $k=105,36,12,14,2$ . Останнє значення відкинемо.

Відповідь: $105$ зустрічається як $P_{2}^{(105)}$ , $P_{3}^{(36)}$ , $P_{5}^{(12)}$ , $P_{1}4^{(14)}$ , тобто як 2-е 105-кутне, 3-е 36-кутне, 5-е 12-кутне, 14-е 14-кутне число.

Задача 2. Дано натуральне число $N>2$ , потрібно визначити чи є воно $k$ -кутним числом $P_{n}^{(k)}$ . На відміну від попередньої задачі, тут $k$ задано. Для розв'язку можна використати тотожністю Діофанта^[4]:

8(k-2)P_{n}^{(k)}+(k-4)^{2}=(2n(k-2)-(k-4))^{2}

.

Цю тотожність легко отримати з наведеної вище загальної формули для $P_{n}^{(k)}$ . З тотожності випливає розв'язок поставленої задачі: якщо $N$ є $k$ -кутне число, тобто $N=P_{n}^{(k)}$ для деякого $N$ , то $8(k-2)N+(k-4)^{2}$ — це деяке квадратне число $R^{2}$ і навпаки. При цьому номер $n$ знаходиться за формулою

n={\frac {R+k-4}{2k-4}}

.

Приклад 2. Визначити чи є число 1540 10-кутним. Значення $8(k-2)N+(k-4)^{2}$ тут рівне $98596=314^{2}$ , тому задане число є 10-кутним. $n=20$ , отже, 1540 є 20-м 10-кутним числом.

Твірна функція

Степеневий ряд, коефіцієнти якого $k$ -кутні числа, збігається при $|x|<1$ :

P_{1}^{(k)}x+P_{2}^{(k)}x^{2}+P_{3}^{(k)}x^{3}+\dots ={\frac {x(1+(k-3)x)}{(1-x)^{3}}}

.

Вираз справа є твірною функцією для послідовності $k$ -кутних чисел^[5].

Апарат твірних функцій дозволяє застосовувати в теорії чисел і комбінаториці методи математичного аналізу. Наведена формула також пояснює появу $k$ -кутних чисел серед коефіцієнтів ряду Тейлора для різноманітних раціональних дробів. Приклади:

При

k=3

:

{\frac {x}{(1-x)^{3}}}=P_{1}^{(3)}x+P_{2}^{(3)}3x^{2}+P_{3}^{(3)}x^{3}+\dots +P_{n}^{(3)}x^{n}+\cdots

,

при

k=4

:

{\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}=P_{1}^{(4)}x+P_{2}^{(4)}3x^{2}+P_{3}^{(4)}x^{3}+\dots +P_{n}^{(4)}x^{n}+\cdots

,

при

k=5

:

{\frac {x(2x+1)}{(1-x)^{3}}}=P_{1}^{(5)}x+P_{2}^{(5)}3x^{2}+P_{3}^{(5)}x^{3}+\dots +P_{n}^{(5)}x^{n}+\cdots

.

Див. також

Примітки

↑ ^а ^б ^в ^г ^д ^е ^ж ^и Archived copy (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 15 червня 2011. Процитовано 13 червня 2010.{{cite web}}: Обслуговування CS1: Сторінки з текстом «archived copy» як значення параметру title (посилання)
↑ Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 29 травня 2013. Процитовано 15 травня 2020.
↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 37—39.
↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 39—39.
↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 17—19.

Література

The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells (Penguin Books, 1997) [[[Спеціальна:BookSources/0-14-026149-4|ISBN 0-14-026149-4]]].
Polygonal numbers at PlanetMath [Архівовано 20 лютого 2016 у Wayback Machine.]
Weisstein, Eric W. Polygonal Numbers(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
F. Tapson (1999). The Oxford Mathematics Study Dictionary (вид. 2nd). Oxford University Press. с. 88–89. ISBN 0-19-914-567-9.

Посилання

Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), number Polygonal number, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Polygonal Numbers: Every s-polygonal number between 1 and 1000 clickable for 2<=s<=337 [Архівовано 20 квітня 2012 у WebCite]
Polygonal Numbers on the Ulam Spiral grid на YouTube
Polygonal Number Counting Function: http://www.mathisfunforum.com/viewtopic.php?id=17853 [Архівовано 29 листопада 2016 у Wayback Machine.]

[siam_07-003s-1] а ^б ^в ^г ^д ^е ^ж ^и Archived copy (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 15 червня 2011. Процитовано 13 червня 2010.{{cite web}}: Обслуговування CS1: Сторінки з текстом «archived copy» як значення параметру title (посилання)

[2] Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 29 травня 2013. Процитовано 15 травня 2020.

[FOOTNOTEДеза_Е.,_Деза_М.201637—39-3] Деза Е., Деза М., 2016, с. 37—39.

[FOOTNOTEДеза_Е.,_Деза_М.201639—39-4] Деза Е., Деза М., 2016, с. 39—39.

[FOOTNOTEДеза_Е.,_Деза_М.201617—19-5] Деза Е., Деза М., 2016, с. 17—19.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]