Симплектичний простір — векторний простір S з заданою на ньому симплектичною формою
, тобто білінійною кососиметричною невиродженою 2-формою. А саме формою для якої для будь-яких
і скалярів
виконуються умови:
![{\displaystyle \omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=-\omega (\mathbf {b} ,\mathbf {a} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22e7af1d0f6fe678b7b9938670892f213f12984f)
![{\displaystyle \omega (\mathbf {a} ,\,\lambda \,\mathbf {b} +\mu \,\mathbf {c} )=\lambda \,\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\mu \,\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {c} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e6d660c2be3e53a1537e1204e019c76d0238281)
![{\displaystyle \forall \mathbf {a} \in \mathbb {S} ,\,\mathbf {a} \neq 0~~\exists \mathbf {b} \in \mathbb {S} \,:\,\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/220cc181f9026bf0db9b95cc2bf68acca843a77a)
Дане означення має зміст для векторних просторів над полями характеристика яких не є рівною 2. Над полями характеристика яких є рівною 2 в означенні, як правило, вимагають сильнішу (і еквівалентну для полів іншої характеристики) вимогу, що для всіх векторів:
![{\displaystyle \omega (\mathbf {a} ,\mathbf {a} )=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b64816bb193cf7fc16bfb9dcade835199f715f90)
- Лінійне відображення L симплектичного простору називається симплектичним, якщо воно зберігає симплектична форму:
![{\displaystyle \left\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \right\rangle =\left\langle L(\mathbf {a} ),L(\mathbf {b} )\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/113ba7b6890867ceed1a1a55349d679dc9639f8d)
- Множина всіх симплектичних відображень простору S утворює групу, що називається симплектичною групою і позначається Sp(S).
- Матриця симплектичного відображення називається симплектичною матрицею.
- Підпростір s симплектичного простору S називається симплектичним, якщо обмеження симплектичної форми на s є невирождени.
- Два вектора
називаються косоортогональними, якщо
![{\displaystyle \left\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \right\rangle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12994ef2df8ad474528348697ea5aba48f472628)
- Відзначимо, що будь-який вектор э косоортогональним самому собі.
- Косоортогональним доповненням підпростору
називається множина всіх векторів, косоортогональних будь-якому вектору з
.
- На просторі
із базисом позначеним як
існує стандартна симплектична форма, яка на базисних векторах задана як
![{\displaystyle \omega (\mathbf {e_{i}} ,\mathbf {e_{j}} )=0,\;\forall \ i,j\in 1,\ldots ,n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b678285fc8c3485a6ac017daffa4c57475f6e)
![{\displaystyle \omega (\mathbf {f_{i}} ,\mathbf {f_{j}} )=0,\;\forall \ i,j\in 1,\ldots ,n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e6ab741e3902044699371aea7ec839105346baa)
![{\displaystyle \omega (\mathbf {e_{i}} ,\mathbf {f_{j}} )=-\omega (\mathbf {f_{i}} ,\mathbf {e_{j}} )={\begin{cases}1,&i=j\\0,&i\neq j\end{cases}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b974f17ca579007ea5b1e5ff0ff47a81faea15ab)
- Матриця цієї симплектичної форми відповідно має вигляд
, де
— одинична матриця порядку n.
- Якщо вектори у цьому базисі записати через координати
то симплектична форма через координати записується як:
![{\displaystyle \omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}b_{n+i}-a_{n+i}b_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b16b0feeb9b1ca58fb11f646806de3a7d9e9405)
- або у векторно-матричній формі:
![{\displaystyle \omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\mathbf {a} ^{T}\cdot \Omega _{n}\cdot \mathbf {b} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/203e21592a7b76b1302e8255eb25ff87f4bcb892)
- Попередній приклад можна узагальнити для довільного простору
для поля
характеристика якого не є рівною 2 і кососиметричної матриці
(тобто
). Тоді для базису
симплектичну форму можна задати на базисних векторах як
Тоді у векторно-матричній формі через координати у цьому базисі симплектичну форму можна обчислити як:
![{\displaystyle \omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\mathbf {a} ^{T}\cdot M\cdot \mathbf {b} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84a8b8014b86fc411a6af7db254de2249b98fe05)
- У комплексному просторі
можна задати білінійну кососиметричну форму за формулою
![{\displaystyle \left\langle u,w\right\rangle =\operatorname {Im} \left[u,w\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aee1719649c391a34c63eaa0f711597dbbc78b1)
- де
— ермітова форма. Ця форма задає симплектичну структуру на просторі
розглянутому як дійсний простір
.
- Більш загально, якщо на дійсному векторному просторі
задані комплексна структура
(тобто лінійний ізоморфізм для якого
або
для всіх
) і узгоджена ермітова структура, тобто скалярний добуток на просторі
для якого додатково
для всіх
, то форма
є симплектичною. Вона очевидно є білінійною і також кососиметричною оскільки:
![{\displaystyle \omega (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=g(\mathbf {v} ,J(\mathbf {w} ))=g(J(\mathbf {v} ),J(J(\mathbf {w} )))=g(J(\mathbf {v} ),-\mathbf {w} )=-g(\mathbf {w} ,J(\mathbf {v} ))=-\omega (\mathbf {w} ,\mathbf {v} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d536b5c9f7498cb18b79c82db7016118fded5db4)
- Також вона є невиродженою адже для кожного ненульового
для скалярного добутку g значення
. Оскільки
є ізоморфізмом, то
є ненульовим вектором і ![{\displaystyle \omega (\mathbf {v} ,w)=g(\mathbf {v} ,J(\mathbf {w} ))=g(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )\neq 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20b288e1248dff36a54bd7fdb79b3e8181382842)
- Навпаки для скінченновимірного дійсного простору
із симплектичною формою
існують комплексна структура
і ермітова структура
для яких
. Для визначення цих структур достатньо розглянути базис Дарбу
, як у розділі нижче і ввести на базисних векторах
і
, а скалярний добуток на базисних векторах ввести як:
![{\displaystyle g(\mathbf {p_{i}} ,\mathbf {q_{j}} )=0,~~g(\mathbf {q_{i}} ,\mathbf {q_{j}} )=g(\mathbf {p_{i}} ,\mathbf {p_{j}} )=\delta _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbb9f9d406ccc9b6546fc4fd40a33d3a995de939)
- Для будь-якого простору V існує канонічна симплектична структура на просторі
, де
— простір спряжений до V. Для двох елементів цього простору
і
, де
, а
симплектична форма задається як:
![{\displaystyle \omega ((\mathbf {u} ,\mathbf {u} ^{*}),(\mathbf {v} ,\mathbf {v} ^{*}))=v^{*}(\mathbf {u} )-u^{*}(\mathbf {v} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f120dfbd7e81979338cd1fa239aa92ea0c657faf)
Симплектичну структуру можна ввести на будь-якому векторному просторі розмірність якого є парним числом. Над полем характеристика якого не є рівною 2 на векторному просторі розмірність якого є непарним числом не існує невиродженої кососиметричної білінійної форми.
Справді ввівши деякий базис
білінійна форма однозначно задається за допомогою матриці
для якої
Тоді у термінах цієї матриці кососиметричність означає, що
, а невиродженість, що
Але для простору непарної розмірності випливає, що для кососиметричної форми
Тобто для простору непарної розмірності для матриці кососиметричної білінійної форми
отже форма є виродженою.
Всі симплектичні простори однакової розмірності є ізоморфними, тобто існує лінійний ізоморфізм який із своїм оберненим є симплектичними відображеннями. Розглянемо деякий вектор
. Оскільки
є невиродженою формою, то існує такий вектор
, що
![{\displaystyle \left\langle \mathbf {p_{1}} ,\mathbf {q_{1}} \right\rangle =1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec78a783cd2df92a360b553370c2536ffb84b986)
Розглянемо косоортогональне доповнення до лінійної оболонки V векторів
і
. Це доповнення буде (2n - 2)-вимірним підпростором S, що не перетинається із V і обмеження
на нього є невиродженою формою. Отже, процес можна продовжити по індукції. Для простору непарної розмірності процес завершиться на одновимірному підпросторі, на якому
є виродженою формою, так що припущення про існування симплектичної структури було хибним. Для простору парної розмірності ми отримаємо базис
,
для якого
![{\displaystyle \left\langle \mathbf {p_{i}} ,\mathbf {q_{j}} \right\rangle =\delta _{ij},~~\left\langle \mathbf {q_{i}} ,\mathbf {q_{j}} \right\rangle =\left\langle \mathbf {p_{i}} ,\mathbf {p_{j}} \right\rangle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/853f11a87566621356cb901f62ab7c29ca82ee90)
де
— символ Кронекера. Він називається канонічним базисом або базисом Дарбу. Наприклад у випадку дійсних векторних просторів із базисом Дарбу простір є ізоморфний простору
із симплектичною формою із першого прикладу.
У канонічному базисі матриця симплектичної форми набуде вигляду
![{\displaystyle \Omega _{n}={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e5ee566658fd1c48ae85cf97eff92ce89de3693)
де
— одинична матриця порядку n.
є симплектичною матрицею.
Розглянемо підпростір
і його косоортогональне доповнення
. Із невироджені
випливає, що:
![{\displaystyle \dim \,W+\dim \,W^{\perp }=\dim \,\mathbb {S} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4c3d5a35fdf6433b5977a254f8a20aac9f4d9dd)
Крім того,
![{\displaystyle (W^{\perp })^{\perp }=W}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c32448b792f96007a7dd5329d2f007726611383)
У загальному випадку ці підпростору перетинаються. Виділяють 4 типи підпросторів:
- Симплектичні:
. Це вірно тоді і тільки тоді, коли обмеження
на W є невирожденим, тож таке означення симплектичних підпросторів збігається з даним вище. У відповідних координатах Дарбу W має вигляд
![{\displaystyle (p_{1},\dots ,p_{k},0,\dots ,0;~q_{1},\dots ,q_{k},0,\dots ,0),\,2k=\dim \,W}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6ef135bc69d069f5b88abf0dff200b1094b2385)
- Ізотропні:
. Підпростір є ізотропним тоді і тільки тоді, коли
тотожно дорівнює нулю на ньому. Будь-який одновимірний підпростір є ізотропним. У відповідних координатах Дарбу W має вигляд
.
- Коізотропні:
. W є коізотропним тоді і тільки тоді, коли
є невирожденою на фактор-просторі
. Будь-який підпростір корозмірності 1 є коізотропним. У відповідних координатах Дарбу W має вигляд
![{\displaystyle (p_{1},\dots ,p_{n};~q_{1},\dots ,q_{k},0,\dots ,0),\,n+k=\dim \,W,\,2n=\dim \,\mathbb {S} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e820e3fda4926418532d6f2aa61c0fa96b84cb39)
- Лагранжеві:
. W є лагранжевим тоді і тільки тоді, коли він одночасно є ізотропним і коізотропним. Будь-який ізотропний підпростір можна вкласти у лагранжів, а будь-який коізотропний підпростір містить лагранжів. У відповідних координатах Дарбу W має вигляд
![{\displaystyle (p_{1},\dots ,p_{n};~0,\dots ,0),\,n=\dim \,W,\,2n=\dim \,\mathbb {S} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63a96b0b32313d960281a306faf57d66e35a341e)
Множина всіх лагранжевих підпросторів простору розмірності 2n утворює многовид, що називається лагранжевим грассманіаном
. Він є дифеоморфним многовиду класів суміжності унітарної групи
по ортогональній підгрупі
, при цьому
![{\displaystyle \dim \,\Lambda _{n}={\frac {n(n+1)}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c687e5eafd133d0cd1f7e3e1c9dd6a8497db288c)
Нехай
є скінченновимірним (парної розмірності) векторним простором над полем дійсних чисел із симплектичною формою
. Комплексна структура
називається узгодженою із симплектичною структурою, якщо:
- для всіх
виконується рівність ![{\displaystyle \omega (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=\omega (J(\mathbf {v} ),J(\mathbf {w} ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ead5342cfe2cf89fada6a0d864bcc070f36df390)
- білінійна форма
є скалярним добутком.
Для кожної симплектичної структури існує нескінченна кількість узгоджених комплексних структур. Зокрема можна розглянути довільний скалярний добуток
і ввести лінійні відображення
задані як
і
Оскільки
і
є невиродженими білінійними формами, то
є лінійними ізоморфізмами і можна ввести лінійний ізоморфізм
заданий як
За означенням тоді
Відображення A є кососиметричним адже
для всіх
Тому в ортонормованому базисі для скалярного добутку
цей оператор задається кососиметричною матрицею, яку теж можна позначити A. Тоді матриця
є симетричною і додатноозначеною оскільки
для всіх
Позначимо
і
. Тоді
є полярним розкладом матриці і оскільки матриця A як кососиметрична матриця є нормальною, то також
і відповідно
Також
тобто
визначає комплексну структуру і
тобто
є ортогональною матрицею тобто
для всіх
Для визначеної комплексної структури виконуються рівності:
![{\displaystyle \omega (J\mathbf {v} ,J\mathbf {w} )=gAJ(\mathbf {v} ,J\mathbf {w} )=gJA(\mathbf {v} ,J\mathbf {w} )=g(A\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=\omega (\mathbf {v} ,\mathbf {w} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8fafd5f0305031b3b3494f5b7a53211acaf4cc2)
Також якщо ввести білінійну форму
![{\displaystyle g_{J}(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=\omega (\mathbf {v} ,J\mathbf {w} )=g(A\mathbf {v} ),J(\mathbf {w} )=-g(JA\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=g(R\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78b229ca191f8e4488a7c4111476b904a3f458cb)
то з додатноозначеності матриці
випливає, що
є скалярним добутком і відповідно
задає узгоджену комплексну структуру.