Диференціальна форма порядку
або
-форма — кососиметричне тензорне поле типу
на дотичному розшаруванні многовиду.
Диференціальні форми введені французьким математиком Елі Картаном на початку XX століття.
Формалізм диференціальних форм є зручним в багатьох розділах теоретичної фізики і математики, зокрема, в теоретичній механіці, симплектичній геометрії, квантовій теорії поля.
Простір
-форм на многовиді
звичайно позначають
.
У диференціальній геометрії, диференціальна форма степеня
— це гладкий перетин
-го зовнішнього степеня кодотичного розшарування многовиду.
Нехай M — гладкий многовид, TpM — дотичний простір многовиду M в точці p, T*pM — кодотичний простір многовиду M в точці p.
Позначмо
— векторний простір знакозмінних, лінійних за всіма елементами відображень виду:
![{\displaystyle \beta \colon T_{p}M\times \cdots \times T_{p}M\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dacc717ebed49840dadfdd86bea5e5b38fe7549)
Тоді диференціальна k-форма
— це відображення:
![{\displaystyle \omega \colon p\to \Lambda ^{k}(T_{p}^{*}M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/531bc8f93cb209eb49200a8fd250e941f34f9151)
в довільній точці p∈M, при чому
![{\displaystyle \omega (p)(V_{1}(p),\ldots ,V_{k}(p))\in C^{\infty }(M,\mathbb {R} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a355f9c961c1f3adc255c8979cd17a646b96193)
де
— довільні гладкі векторні поля.
Іноді у визначенні диференціальних форм не вимагається гладкості. Форми, що задовольняють ці додаткові умови, називають тоді гладкими диференціальними формами.
Якщо
— локальна система координат в області
, то форми
утворюють базис у кодотичному просторі
. Тому будь-яка зовнішня k-форма записується в U у вигляді
![{\displaystyle \omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\,dx_{i_{1}}\wedge dx_{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c66605d916ef373fefced1d678c0cec9f69a713)
де
— гладкі функції
— диференціал
-ї координати
(функція від вектора, що визначає його координату з номером
), а
— зовнішній добуток. При зміні координат, це подання змінюється.
На гладкому многовиді, k-форми може бути визначено як форми на картах, які узгоджено на склеюваннях.
Лінійне відображення
називається зовнішньою похідною якщо:
- Для
воно збігається зі звичайним диференціалом функції;
![{\displaystyle \ d(\omega ^{k}\wedge \omega ^{p})=(d\omega ^{k})\wedge \omega ^{p}+(-1)^{k}\omega ^{k}\wedge (d\omega ^{p})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d10cd54d81b65e1fa76b7704cb732ffd48a1dc)
- Для будь-якої форми виконується рівність
.
Для довільного гладкого многовиду відображення з даними властивостями існує і є єдиним. У локальних координатах зовнішній диференціал форми
можна записати за допомогою формули:
![{\displaystyle d\omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}\sum _{1\leqslant j\leqslant n}{\frac {\partial f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}}{\partial x^{j}}}(x_{1},\;\dots ,\;x_{n})\,dx_{j}\wedge dx_{i_{1}}\wedge dx_{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1f4cb4c72b62d8b115fd84b44a250f7a2c8e841)
- Диференціальна форма називається замкненою, якщо її зовнішня похідна дорівнює 0.
- k-форма називається точною, якщо її можливо представити як диференціал деякої (k-1)-форми.
- Факторгрупа
замкнених k-форм по точних k-формах називається
-мірною групою когомологій де Рама. Теорема де Рама стверджує, що вона ізоморфна k-мірній групі сингулярних когомологій.
- Внутрішньою похідною форми
по векторному полю
називається форма
![{\displaystyle i_{\mathbf {v} }\omega (u_{1},\dots u_{n-1})=\omega (\mathbf {v} ,u_{1},\dots ,u_{n-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d654183c3f92ac2c84ac677272c620f98406cafa)
- Для диференціалів диференціальних форм
векторного поля
справедливо:
![{\displaystyle \ d(d\omega _{F})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8df9c6dd45e0a36513263e1943625bce4617a5cf)
![{\displaystyle d(\omega _{F}^{0})=\omega _{\nabla F}^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f2d67521e166f2a6f2a018305f9c29d84e6df2d)
![{\displaystyle d(\omega _{F}^{1})=\omega _{rotF}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8928b93cca4415a6e4aa71c7da04cc1f4580f9b7)
![{\displaystyle d(\omega _{F}^{2})=\omega _{divF}^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c873daef40ff50166160ff48e6c1e8dd85a0091f)
![{\displaystyle d(\omega _{F}^{3})=\omega _{L2F}^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c892a69b41d1a1a024419f7e0bb8ad56a30d9b9)
- Диференціальну форму можна розглядати як поле полілінійних кососиметричних функцій від
векторів.
- Внутрішнє диференціювання є лінійним і задовольняє градуйованому правилу Лейбніца. Воно пов'язане із зовнішнім диференціюванням і похідною Лі формулою гомотопії:
![{\displaystyle di_{\mathbf {v} }+i_{\mathbf {v} }d=L_{\mathbf {v} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a14f429802d529630d7382b54b335b6afc01c5b)
Диференціальні форми порядку
, задані у диференціальному многовиді
, утворюють модуль
над кільцем
. Зокрема для диференціальних форм порядку
визначено додавання і множення на функцію :
;
.
- Зовнішній добуток
Зовнішній добуток форм
і
порядків
і
визначається за допомогою наступної формули :
,де
позначає знак перестановки
і сума береться по всіх перестановках
чисел
. Результатом добутку є диференціальна форма порядку
.
З визначеними алгебраїчними операціями множина
, є градуйованою алгеброю, що задовольняє градуйованому закону комутативності: для форм
і
порядків
і
, Виконується
.
Якщо відображення
є гладким,
— диференціальна форма порядку
на многовиді
, тоді можна визначити диференціальну форму
порядку
визначену на
:
.
Дане відображення задовольняє рівностям:
![{\displaystyle f^{*}(\alpha +\beta )=f^{*}(\alpha )+f^{*}(\beta )\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e452917758cd7efae3733ea7429a9dff3a727b77)
![{\displaystyle f^{*}(g\cdot \alpha )=(g\circ f)\cdot f^{*}(\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/056f62333bd6fd3e0c220902521905c9c824b789)
![{\displaystyle f^{*}(\alpha \wedge \beta )=f^{*}(\alpha )\wedge f^{*}(\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb8ed05411957b2b02f0d5eca87a4935863ba8c3)
- де
— диференціальні форми на N, а g — функція визначена на N.
Отже, відображення
визначає гомоморфізм градуйованих алгебр.
Дане відображення також можна записати у локальних координатах. Нехай x1, …, xm — координати на M, that y1, …, yn — координати на N, і ці координати пов'язані рівностями yi = fi(x1, …, xm) для всіх i. Тоді, локально на N, ω можна записати як
![{\displaystyle \omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}dy_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dy_{i_{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a92b7e2d2f3d42fe1319563ee49a36343ac8c41)
де для довільного вибору i1, …, ik,
— дійсна функція змінних y1, …, yn. З властивостей зворотного образу одержується формула для f*ω :
![{\displaystyle f^{*}\omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}(\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}\circ f)df_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge df_{i_{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f37a40383252870b44d5b18a717ce6798ce80d45)
Кожну зовнішню похідну dfi може бути записано в термінах dx1, …, dxm. Відповідну k-форму може бути записано за допомогою матриці Якобі:
![{\displaystyle f^{*}\omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}\sum _{j_{1}<\cdots <j_{k}}(\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}\circ f){\frac {\partial (f_{i_{1}},\ldots ,f_{i_{k}})}{\partial (x_{j_{1}},\ldots ,x_{j_{k}})}}dx_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{j_{k}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1fdcb3569a62b789a6ab44f9171dbc92e8667be)
Нехай
![{\displaystyle \omega =\sum a_{i_{1},\dots ,i_{k}}({\mathbf {x} })\,dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abfd9659c12be479516ad5a13784836c8c8008d6)
диференціальна форма і S — диференційовний многовид параметризований в деякій області
:
. Тоді можна визначити інтеграл:
![{\displaystyle \int _{S}\omega =\int _{D}\sum a_{i_{1},\dots ,i_{k}}(S({\mathbf {u} })){\frac {\partial (x_{i_{1}},\dots ,x_{i_{k}})}{\partial (u_{1},\dots ,u_{k})}}\,du_{1}\ldots du_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a85a5a8dc5286fe86d1df807f8b8f9d88b83d3da)
де
— визначник матриці Якобі.
Теорема Стокса є основою для більшості застосувань диференціальних форм:
- Якщо
— n−1-форма з компактним носієм у M і ∂M границя многовиду M з індукованою орієнтацією, то виконується рівність:
![{\displaystyle \int _{M}d\omega =\oint _{\partial M}\omega .\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01e2e0dc91b6a1f05b70db164c93782e1bb3b9a4)
Частковими випадками цієї загальної теореми є основна теорема аналізу, теорема Гауса — Остроградського, теорема Гріна і звичайна теорема Стокса про зв'язок лінійного і поверхневого інтегралів.
Максвеллівська електродинаміка вельми елегантно формулюється мовою диференціальних форм в 4-вимірному просторі-часі. Розглянемо 2-форму Фарадея, що відповідає тензору електромагнітного поля:
![{\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {1}{2}}F_{ab}\,{\mathrm {d} }x^{a}\wedge {\mathrm {d} }x^{b}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55622ee463b188c5439bb7d4c688deaf059bdb1e)
Ця форма є формою кривини тривіального головного розшарування зі структурною групою U (1), за допомогою якого може бути описано класичну електродинаміку та калібрувальну теорію. 3-форма струму, дуальна до 4-вектору струму, має вигляд
![{\displaystyle {\textbf {J}}=J^{a}\varepsilon _{abcd}\,{\mathrm {d} }x^{b}\wedge {\mathrm {d} }x^{c}\wedge {\mathrm {d} }x^{d}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ed54a99fe05e1ea57650491ddd89e94afeecbf9)
У цих позначеннях рівняння Максвелла може бути дуже компактно записано як
,
,
де
— оператор зірки Годжа. Подібним чином може бути описано геометрію загальної калібрувальної теорії.
2-форма
також називається 2-формою Максвелла.
- З погляду тензорного аналізу, 1-форма є не що інше як ковекторне поле, тобто 1 раз коваріантний тензор, заданий в кожній точці
многовиду
і що відображає елементи дотичного простору
у множину дійсних чисел
:
![{\displaystyle \omega (p):T_{p}(M)\rightarrow \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2db746daef84fae726f714697c0321519999e6d)
- Форма об'єму — приклад
-форми на
-мірному многовиді.
- Симплектична форма — замкнена 2-форма
на
-многовиді, така що
.
- Зорич В. А. Математический анализ. — 9-е. — М : МЦНМО, 2019. — Т. 2. — 676 с. — ISBN 978-5-4439-1303-2.(рос.)
- Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
- Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.
- У. Рудин. Основы математического анализа — М.: Мир, 1976
- Спивак М. Математический анализ на многообразиях, — М.: Мир. 1968.
- Flanders, Harley (1989), Differential forms with applications to the physical sciences, Mineola, NY: Dover Publications, ISBN 0-486-66169-5
- Morita, Shigeyuki (2001), Geometry of Differential Forms, AMS, ISBN 0-8218-1045-6
- Weintraub, Steven (1997), Differential forms : a complement to vector calculus,Academic Press, Inc. ISBN 0-12-742510-1