Теорема Гріна

Теорема Гріна встановлює зв'язок між криволінійним інтегралом по замкнутому контуру $C$ і подвійним інтегралом по області $D$ , обмеженій цим контуром. Фактично, ця теорема є окремим випадком загальнішої теореми Стокса. Теорема названа на честь англійського математика Джорджа Гріна.

Формулювання

$D$ — область, обмежена замкнутою кривою $C$

Нехай $C$ — додатно орієнтована кусково-гладка замкнута крива на площині, а $D$ — область, обмежена кривою $C$ . Якщо функції $P=P(x,y)$ , $Q=Q(x,y)$ визначені в області $D$ і мають неперервні часткові похідні ${\frac {\partial P}{\partial y}}$ , ${\frac {\partial Q}{\partial x}}$ , то

\oint _{C}P\,dx+Q\,dy=\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\,dy

На символі інтеграла часто малюють коло, щоб підкреслити, що крива $C$ замкнена.

Доведення

Нехай область $D$ — криволінійна трапеція (область, правильна в напрямку $OY$ ):

D=\{(x,y)|a\leq x\leq b,y_{1}(x)\leq y\leq y_{2}(x)\}

Для кривої $C$ , що обмежує область $D$ , задамо напрямок обходу за годинниковою стрілкою.

Тоді:

\iint \limits _{D}{\frac {\partial P}{\partial y}}\,dx\,dy=\int \limits _{a}^{b}dx\int \limits _{y_{1}(x,y)}^{y_{2}(x,y)}{\frac {\partial P}{\partial y}}\,dy=\int \limits _{a}^{b}(P(x,y_{2}(x))-P(x,y_{1}(x)))\,dx=

=\int \limits _{a}^{b}P(x,y_{2}(x))\,dx-\int \limits _{a}^{b}P(x,y_{1}(x))\,dx\quad (1)

Помітимо, що обидва одержані інтеграли можна замінити криволінійними інтегралами:

\int \limits _{C_{1}}P(x,y)\,dx=-\int \limits _{-C_{1}}P(x,y)\,dx=-\int \limits _{a}^{b}P(x,y_{1}(x))\,dx\quad (2)

\int \limits _{C_{3}}P(x,y)\,dx=\int \limits _{a}^{b}P(x,y_{2}(x))\,dx\quad (3)

Інтеграл по $C_{1}$ береться зі знаком «мінус», оскільки, згідно з орієнтацією контуру, $C$ напрямок обходу даної частини — від $b$ до $a$ .

Криволінійні інтеграли по $C_{2}$ і $C_{4}$ дорівнюватимуть нулю, оскільки $x=\operatorname {const}$ :

\int \limits _{C_{2}}P(x,y)\,dx=0\quad (4)

\int \limits _{C_{4}}P(x,y)\,dx=0\quad (5)

Замінимо в (1) інтеграли згідно з (2) і (3), а також додамо (4) і (5), що рівні нулю і не впливають на значення виразу:

\iint \limits _{D}{\frac {\partial P}{\partial y}}\,dx\,dy=\int \limits _{C_{1}}P(x,y)\,dx+\int \limits _{C_{3}}P(x,y)\,dx+\int \limits _{C_{2}}P(x,y)\,dx+\int \limits _{C_{4}}P(x,y)\,dx

Оскільки обхід за годинниковою стрілкою за правої орієнтації площини є від'ємним напрямком, то сума інтегралів в правій частині є криволінійним інтегралом по замкнутій кривій $C$ у від'ємному напрямку:

\iint \limits _{D}{\frac {\partial P}{\partial y}}\,dx\,dy=-\int \limits _{C}P(x,y)\,dx\quad (6)

Аналогічно доводиться формула:

\iint \limits _{D}{\frac {\partial Q}{\partial x}}\,dx\,dy=\int \limits _{C}Q(x,y)\,dy\quad (7)

якщо за область $D$ взяти область, правильну в напрямку $OX$ .

Віднімаючи (6) з (7), одержимо:

\int \limits _{C}P\,dx+Q\,dy=\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\,dy

Зв'язок з формулою Остроградського

Розглядаючи двовимірне векторне поле, теорема Гріна рівнозначна двовимірному випадку формули Остроградського:

\iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds,

де $\nabla \cdot \mathbf {F}$ це дивергенція двовимірного векторного поля $\mathbf {F}$ , а $\mathbf {\hat {n}}$ це нормаль на границі, що вказує назовні.

Що побачити це, розглянемо одиничну нормаль $\mathbf {\hat {n}}$ у правій частині рівності. Оскільки в теоремі Гріна $d\mathbf {r} =(dx,dy)$ це вектор напрямлений вздовж дотичної до кривої, і крива C додатно орієнтована (тобто проти годинникової стрілки) крива вздовж межі, зовнішня нормаль це вектор напрямлений 90° праворуч від цього; можна обрати $(dy,-dx)$ . Цей вектор завдовжки ${\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=ds.$ Тому $(dy,-dx)=\mathbf {\hat {n}} \,ds.$