Загальна лінійна модель

Частина з циклу Статистика
Регресійний аналіз
Моделі
Лінійна регресія Проста лінійна регресія Звичайні найменші квадрати Поліноміальна регресія Загальна лінійна модель
Узагальнена лінійна модель Дискретний вибір Логістична регресія Поліноміальний логіт Змішаний логіт Пробіт Поліноміальний пробіт Впорядкований логіт Впорядкований пробіт Пуассон
Багаторівнева модель Фіксовані рівні факторів Випадкові рівні факторів Змішана модель
Нелінійна регресія Непараметрична Напівпараметрична Робастна Квантильна Ізотонічна Головні компоненти Найменші кути Локальна Сегментована
Похибки вимірювань
Оцінка
Найменші квадрати Звичайні найменші квадрати Лінійні Частинні Повні Узагальнені Зважені Нелінійні Невід'ємні Ітеративно перезважувані Регуляризація Тихонова
Найменших модулів Баєсова Баєсова багатовимірна
Підґрунтя
Перевірка регресійних моделей Середній та передбачуваний відгук Похибки та залишки Допасованість Студентизований залишок Теорема Гаусса — Маркова

Зага́льна ліні́йна моде́ль — це статистична лінійна модель, що визначається наступним рівнянням:

$\mathbf {Y} =\mathbf {X} \mathbf {B} +\mathbf {U} ,$

де Y — це матриця що описує виміри, X — матриця, яка може бути матриця розрахунку, B являє собою матрицю, параметри якої, як правило, повинні бути оцінені, та U являє собою матрицю, яка містить характеристику випадкової помилки або шум. Помилки, як правило, є наслідком багатовимірного нормального розподілу. Якщо помилки не йдуть за багатовимірним нормальним розподілом, узагальнені лінійні моделі можуть бути використані, щоб спростити припущення про Y та U. Загальна лінійна модель включає в себе цілий ряд різних статистичних моделей: ANOVA, ANCOVA, MANOVA, MANCOVA, звичайні лінійної регресії, Т-тест і F-тест. Повна лінійна модель є узагальненням моделі множинної лінійної регресії на випадок більш однієї залежної змінної. Якщо Y, B і U були б вектор-стовпчиками, то матричне рівняння, що наведене вище представлятиме множинну лінійну регресію. Тести гіпотези з загальною лінійною моделлю можуть бути зроблені двома способами: або як багатовимірний або як кілька незалежних одновимірних тестів. У багатовимірному тесті стовпців Y перевіряють разом, тоді як в одновимірному тесті стовпці Y перевіряють незалежно, тобто як безліч одновимірних тестів з тією ж матрицею розрахунку.

Множинна лінійна регресія

Множинна лінійна регресія є узагальненням лінійної регресії з урахуванням більш ніж однієї незалежної змінної, а окремий випадок загальної лінійної моделі формується за рахунок обмеження кількості залежних змінних до одного. Базовою моделлю для лінійної регресії є:

$Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}X_{i1}+\beta _{2}X_{i2}+\ldots +\beta _{p}X_{ip}+\epsilon _{i}.$

У наведеній вище формулі ми вважаємо n спостережень одної залежної змінної і p незалежних змінних. Таким чином, Y_i спостереження i залежної змінної, X_ij є спостереженням j незалежної змінної, j = 1, 2, …, p . Значення β₀ є відтинком й інтерпретується як значення залежної змінної Y_i, коли усі Х_i дорівнюють нулю. Отримуємо:

$Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}*0+\beta _{2}*0+\ldots +\beta _{p}*0+\epsilon _{i}=\beta _{0}+\epsilon _{i}.$

Значення β_j представляють параметри лінійної моделі. Кожен параметр показує, наскільки у середньому зміниться значення залежної змінної при одиничній зміні незалежної змінної, за умови фіксованості усіх інших предикторів. ε_i є i-та незалежна однаково розподілена нормальна похибка.

Параметри моделі знаходяться методом найменших квадратів.

Застосування

Застосування загальної лінійної моделі з'являється в аналізі численних сканувань головного мозку в наукових експериментах, де Y містить дані від сканерів мозку, X містить експериментальні змінні. Як правило, це перевіряється одновимірним способом (зазвичай названий масово-одномірним в цьому параметрі) і часто згадується як статистичне параметричне відображень.

Див. також

• Узагальнена лінійна модель
• Функція лінійного передбачення
• Лінійна система
• Лінійна регресія
• Статистична модель
• Регресійний аналіз