Складано-ножева перевибірка

У статистиці склада́но-ножева́ переви́бірка (англ. jackknife) — це методика перевибірки, особливо корисна для оцінки дисперсії та зсуву. Складано-ножевий метод передував іншим звичним методам перевибірки, таким як натяжковий. Складано-ножеву оцінку параметра знаходять послідовним винятком кожного зі спостережень з набору даних і обчисленням оцінки без нього, з наступним усередненням всіх таких оцінок. Для заданої вибірки розміру $N$ складано-ножеву оцінку знаходять обчисленням середнього значення всіх підвибірок розміру $N-1$.

Складано-ножеву методику розробив Моріс Кенуй (фр. Maurice Quenouille) у 1949 та 1956 роках. Джон Тьюкі 1958 року розширив цю методику та запропонував назву «складано-ножева» (англ. jackknife), оскільки, як і реальний складаний ніж, вона є простим та доступним інструментом, який може зімпровізувати розв'язок для широкого ряду задач, хоча конкретні задачі й може бути розв'язано ефективніше за допомогою інструментів, розроблених спеціально для них.

Складано-ножева перевибірка є лінійним наближенням натяжкової.

Оцінка

Складано-ножеву оцінку параметра для знаходження його попередньо невідомого значення (скажімо, ${\bar {x}}_{i}$) можна знаходити оцінкою цього параметра для кожної з підвибірок за винятком i-того спостереження.

${\bar {x}}_{i}={\frac {1}{n-1}}\sum _{j\neq i}^{n}x_{j}$

Оцінка дисперсії

Із застосуванням складано-ножевої методики можна обчислювати оцінку дисперсії оцінки параметра.

$\operatorname {Var} _{\mathrm {(jackknife)} }={\frac {n-1}{n}}\sum _{i=1}^{n}({\bar {x}}_{i}-{\bar {x}}_{\mathrm {(.)} })^{2}$

де ${\bar {x}}_{i}$ є оцінкою параметра на основі виключення i-того спостереження, а ${\bar {x}}_{\mathrm {(.)} }={\frac {1}{n}}\sum _{i}^{n}{\bar {x}}_{i}$ є оцінкою на основі усіх підвибірок.

Оцінка та виправлення зсуву

Складано-ножеву методику можна застосовувати для оцінювання зсуву оцінки, розрахованої над усією вибіркою. Скажімо, ${\hat {\theta }}$ є обчисленою оцінкою досліджуваного параметра на основі всіх ${n}$ спостережень. Нехай

${\hat {\theta }}_{\mathrm {(.)} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\hat {\theta }}_{\mathrm {(i)} }$

де ${\hat {\theta }}_{\mathrm {(i)} }$ є досліджуваною оцінкою на основі вибірки з усуненим i-тим спостереженням, а ${\hat {\theta }}_{\mathrm {(.)} }$ є усередненням цих оцінок «за виключенням одного». Складано-ножева оцінка зсуву оцінки ${\hat {\theta }}$ задається як

${\widehat {\text{Bias}}}_{\mathrm {(\theta )} }=(n-1)({\hat {\theta }}_{\mathrm {(.)} }-{\hat {\theta }})$

а результатна складано-ножева оцінка $\theta$ з виправленим зсувом задається як

${\hat {\theta }}_{\text{Jack}}=n{\hat {\theta }}-(n-1){\hat {\theta }}_{\mathrm {(.)} }$

Це усуває зсув в особливому випадку, коли зсув є $O(N^{-1})$, і до $O(N^{-2})$ в інших випадках.

Це забезпечує оцінку виправлення зсуву, спричиненого методом оцінки. Зсунуту вибірку складано-ножева методика не виправляє.

Література

• Cameron, Adrian; Trivedi, Pravin K. (2005). Microeconometrics : methods and applications. Cambridge New York: Cambridge University Press. ISBN 9780521848053. (англ.)
• Efron, B.; Stein, C. (May 1981). The Jackknife Estimate of Variance. The Annals of Statistics. 9 (3): 586—596. doi:10.1214/aos/1176345462. JSTOR 2240822. (англ.)
• Efron, Bradley (1982). The jackknife, the bootstrap, and other resampling plans. Philadelphia, Pa: Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 9781611970319. (англ.)
• Quenouille, M. H. (September 1949). Problems in Plane Sampling. The Annals of Mathematical Statistics. 20 (3): 355—375. doi:10.1214/aoms/1177729989. JSTOR 2236533. (англ.)
• Quenouille, M. H. (1956). Notes on Bias in Estimation. Biometrika. 43 (3-4): 353—360. doi:10.1093/biomet/43.3-4.353. JSTOR 2332914. (англ.)
• Tukey, J. W. (1958). Bias and confidence in not quite large samples. The Annals of Mathematical Statistics. 29: 614—623. doi:10.1214/aoms/1177706647.. (англ.)
• Орлов А.И. (2004). Прикладная статистика. Издательство «Экзамен». (рос.)
• Шитиков, В.К.; Розенберг, Г.С. (2013). Рандомизация и бутстреп. Статистический анализ в биологии и экологии с использованием R. Исправленная и дополненная интернет-версия от 15.11.2013 (PDF). г. Тольятти: Издательство «Кассандра». с. 15—17. (рос.)
• Эфрон, Б. (1988). Нетрадиционные методы многомерного статистического анализа. Москва: "Финансы и статистика". с. 50—51. (рос.)