Змінна

Змінна у математиці (англ. variable, від лат. variabilis, «що піддається змінам») — символ, зазвичай літера, що позначає невизначений математичний об'єкт. У неформальному спілкуванні кажуть, що змінна представляє або позначає об'єкт, а будь-який допустимий кандидат на роль об'єкта є значенням змінної. Значення, які може приймати змінна, зазвичай одного типу, часто значеннями є числа. Більш конкретно, задіяні значення можуть утворювати множину, таку як множина дійсних чисел.

Об'єкт не завжди повинен існувати, або може бути невизначеним, чи існує хоча б один допустимий кандидат чи ні. Наприклад, можна представити два цілі числа за допомогою змінних p і q і вимагати, щоб значення квадрата p було подвоєним квадратом q, що в алгебраїчній нотації можна записати як p² = 2 q². Остаточний доказ того, що цю рівність неможливо задовольнити, коли p і q обмежені цілими числами, не є очевидним, але він був відомий з давніх часів і з тих пір мав великий вплив на математику.

Спочатку термін змінна використовувався переважно для аргументу функції, у цьому випадку аргумент може змінюватись в області визначення функції. Це пояснює вибір цього терміну. Крім того, змінні використовуються для позначення значень функцій, наприклад $y$ в $y=f(x)$.

Змінна може представляти невизначене число, яке залишається фіксованим під час вирішення задачі; у цьому випадку його часто називають параметром. Змінна може позначати невідоме число, яке необхідно визначити; у цьому випадку воно називається невідомим; наприклад, у квадратному рівнянні $ax^{2}+bx+c=0,$ змінні $a,b,c$ є параметрами, а $x$ є невідомим.

Іноді один і той же символ можна використовувати для позначення як змінної, так і константи, тобто чітко визначеного математичного об'єкта. Наприклад, грецька літера π зазвичай позначає число π, але також використовується для позначення проєкції. Подібним чином літера e часто позначає число Ейлера, але її використовують для позначення непризначеного коефіцієнта для поліномів четвертого та вищого ступеня. Навіть символ $1$ використовується для позначення нейтрального елемента довільного поля. Ці два поняття використовуються майже однаково, тому зазвичай потрібно знати, чи позначає даний символ змінну чи константу.

Змінні часто використовуються для представлення матриць, функцій, їхніх аргументів, множин та їх елементів, векторів, просторів тощо.

У математичній логіці змінна є символом, який або представляє невизначену константу теорії, або підлягає кількісній оцінці.

Історія

Для ширшого висвітлення цієї теми, див. Історія алгебри і Історія математичних позначень

Рання історія

Папірус Райнда

Найдавніші приклади використання «невідомої величини» відносяться принаймні до стародавніх єгиптян у московському математичному папірусі (бл. 1500 р. до н.е.) де риторично описувалися проблеми з невідомими, які називаються «задачами Аха». «Задачі Аха» включають пошук невідомих величин (відомих як «аха», «купа»), якщо відома сума цих величин та їх частин (папірус Райнда також містить чотири подібні задачі). Наприклад, у задачі 19 потрібно обчислити кількість, взяту 1+1⁄2 рази та додану до 4, щоб отримати 10. У сучасних математичних позначеннях: ${\textstyle {\frac {3}{2}}x+4=10}$. Приблизно в той же час у Месопотамії математика стародавнього вавилонського періоду (бл. 2000 р. до н. е. — 1500 р. до н. е.) була більш розвиненою і також вивчала квадратичні та кубічні рівняння.

Сторінка з Начал Евкліда

У працях стародавньої Греції таких як Начала Евкліда (бл. 300 р. до н. е.), математика описувалася геометрично. Наприклад, твердження 1 Книги II Начал Евкліда містить наступне твердження:

«Якщо є дві прямі, і одна з них розділена на будь-яку кількість сегментів, прямокутник, обмежений двома прямими, дорівнює прямокутникам, обмеженим нерозділеною прямою та кожним із сегментів.»

Це відповідає алгебраїчній тотожності a(b+c)=ab+ac (дистрибутивність), але описується повністю геометрично. Евклід та інші грецькі геометри також використовували окремі літери для позначення геометричних точок і фігур. Такий тип алгебри тепер іноді називають грецькою геометричною алгеброю.

Діофант Александрійський започаткував форму синкопованої алгебри у своїй Арифметиці (бл. 200 р. н. е.), яка запровадила символічне маніпулювання виразами з невідомими та степенями, але без сучасних символів відношення (таких як рівність чи нерівність) або показників. Невідоме число називалося $\zeta$. Квадрат $\zeta$ мав назву $\Delta ^{v}$; куб називався $K^{v}$; четвертий степінь називався $\Delta ^{v}\Delta$; а п'ятий степінь називався $\Delta K^{v}$. Таким чином, вираз, записаний в сучасних позначеннях:$$x^{3}-2x^{2}+10x-1,$$буде записаний у синкопованій нотації Діофанта як:

$\mathrm {K} ^{\upsilon }{\overline {\alpha }}\;\zeta {\overline {\iota }}\;\,\pitchfork \;\,\Delta ^{\upsilon }{\overline {\beta }}\;\mathrm {M} {\overline {\alpha }}\,\;$

У 7 столітті до нашої ери Брамагупта використовував різні кольори для представлення невідомих в алгебраїчних рівняннях у Виправленому вченні про Брахму. Один розділ цієї книги називається «Рівняння кількох кольорів». Грецькі та інші стародавні математичні досягнення часто потрапляли в пастку тривалих періодів застою, тому революційних змін у нотації було небагато, але ситуація почала змінюватися на початку раннього нового періоду.

Класифікація змінних

Змінні величини бувають скалярні та векторні.

Скалярні змінні відповідно поділяються на кількісні та якісні.

• Кількісні — звичні для нас числові змінні.
• Якісні — такі змінні, що приймають значення з деякої множини, що не є підмножиною раціональних чисел.

  Елементи цієї множини називаються градаціями (категоріями).

  • Якщо на множині градацій заданий загальноприйнятий лінійний порядок (ми можемо визначити що одна величина більша за іншу, але не знаємо наскільки), то відповідна якісна змінна називається ординальною. Приклад ординальної змінної — якість статей вікіпедії. Ми можемо сказати що добрі статті кращі за вибрані, але не можемо сказати наскільки.
  • Інакше називається номінальною. Наприклад, місто проживання, стать, колір машини.

  Також якісні бувають категоризовані та некатегоризовані:

  • Якісна змінна категоризована, якщо для неї апріорі визначена повністю множина градацій, та алгоритм віднесення спостереження над нею до конкретної градації.
  • Інакше відповідно некатегоризована.

Див. також

• Шкала#Основні типи шкал
• Категорійна змінна

Джерела

• Змінна в логіці // Філософський енциклопедичний словник / В. І. Шинкарук (гол. редкол.) та ін. — Київ : Інститут філософії імені Григорія Сковороди НАН України : Абрис, 2002. — 742 с. — 1000 екз. — ББК 87я2. — ISBN 966-531-128-X.
• Edwards, Joseph (1892). An Elementary Treatise on the Differential Calculus (вид. 2nd). London: MacMillan and Co.
• Foerster, Paul A. (2006). Algebra and Trigonometry: Functions and Applications (вид. classics). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-165711-3.
• Fraleigh, John B. (1989). A First Course in Abstract Algebra (вид. 4th). United States: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-52821-3.
• Hosch, William L., ред. (2010). The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry. Britannica Educational Publishing. ISBN 978-1-61530-219-2.
• Menger, Karl (1954). On Variables in Mathematics and in Natural Science. The British Journal for the Philosophy of Science. University of Chicago Press. 5 (18): 134—142. doi:10.1093/bjps/V.18.134. JSTOR 685170.
• Peregrin, Jaroslav (2000). Variables in Natural Language: Where do they come from? (PDF). У Böttner, Michael; Thümmel, Wolf (ред.). Variable-Free Semantics. Osnabrück Secolo. с. 46—65. ISBN 978-3-929979-53-4.
• Quine, Willard V. (1960). Variables Explained Away (PDF). Proceedings of the American Philosophical Society. American Philosophical Society. 104 (3): 343—347. JSTOR 985250.
• Sorell, Tom (2000). Descartes: A Very Short Introduction. New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-285409-4.
• Stover, Christopher; Weisstein, Eric W. Variable. У Weisstein, Eric W. (ред.). Wolfram MathWorld (англ.). Wolfram Research. Процитовано 22 листопада 2021.
• Tabak, John (2014). Algebra: Sets, Symbols, and the Language of Thought (англ.). Infobase Publishing. ISBN 978-0-8160-6875-3.