Стала функція

Стала функція y = 4.

У математиці стала функція — це функція, у якої вихідне значення є однаковим для кожного вхідного значення. Наприклад, функція $y(x)=4$ є сталою функцією, тому що значення $y(x)$ дорівнює 4 незалежно від вхідного значення $x$ (див. зображення).

Основні властивості

Як дійсна функція дійсної змінної, стала функція має загальну форму $y(x)=c$ або просто $y=c$.

Приклад: Функція $y(x)=2$ або просто $y=2$ є конкретною сталою функцією, у якої вихідним значенням є $c=2$. Область визначення цієї функції — множина всіх дійсних чисел ℝ. Область значень цієї функції — тільки {2}. Незалежна змінна x не з'являється у правій частині виразу функції, і тому її значення є «по різному підставляється». А саме y(0)=2, y(−2.7)=2, y(π)=2,… . Незалежно від того, яке значення x є на вході, вихідним буде «2».

Приклад з реального життя: Магазин, у якому кожен предмет продається за ціною 3 гривні.

Графік сталої функції $y=c$ — горизонтальна лінія на площині, яка проходить через точку $(0,c)$.

Як многочлен від одної змінної x, ненульова стала функція є поліномом степеня 0 і її загальна форма $f(x)=c,c\neq 0$. Ця функція не має точки перетину з віссю x (віссю абсцис), тобто не має кореня (нуля). З іншого боку, поліном $f(x)=0$ є тотожно нульовою функцією. Це (тривіальна) стала функція, і кожен x є коренем. Її графік — це вісь x на площині.

Стала функція є парною функцією, тобто графік сталої функції симетричний відносно осі y.

У контексті, де вона визначена, похідна функції є мірою швидкості зміни значень функцій щодо зміни вхідних значень. Оскільки стала функція не змінюється, її похідна дорівнює 0. Часто це пишеться: $(c)'=0$. Зворотне також вірно. А саме, якщо y'(x)=0 для всіх дійсних чисел x, то y(x) є сталою функцією.

Приклад: Дано сталу функцію $y(x)=-{\sqrt {2}}$. Похідна від y — тотожно нульова функція $y\,'(x)=(-{\sqrt {2}})'=0$.

Інші властивості

Для функцій між попередньо впорядкованими множинами, сталі функції є такими, що зберігають порядок і роблять зворотний порядок; і навпаки, якщо f одночасно зберігає порядок і змінює порядок на обернений, і якщо область f — решітка, то f повинна бути сталою.

• Кожна стала функція, у якої область визначення і область значень є однакові, є ідемпотентною.
• Кожна стала функція між топологічними просторами є неперервною.
• Стала функція проходить через одноточкову множину, термінальний об'єкт у категорії множин. Це спостереження є визначальним для аксіоматизації теорії множин Ф. Вільяма Ловера, елементарної теорії категорії множин (ETCS).
• Кожна множина X ізоморфна множині сталих функцій у ній. Для кожного елемента x і будь-якої множини Y існує унікальна функція ${\tilde {x}}:Y\rightarrow X$ така, що ${\tilde {x}}(y)=x$ для всіх $y\in Y$. І навпаки, якщо функція $f:Y\rightarrow X$ задовольняє $f(y)=f(y')$ для всіх $y,y'\in Y$, $f$ за визначенням є сталою функцією.
  • Як наслідок, одноточкова множина є генератором в категорії множин.
  • Кожна множина $X$ канонічно ізоморфна множині функцій $X^{1}$, або множині Hom $\operatorname {hom} (1,X)$ у категорії множин, де 1 — це одноточкова множина. Через це і через приєднання між декартовими добутками і hom в категорії множин (тому існує канонічний ізоморфізм між функціями двох змінних і функціями однієї змінної, що оцінюється в функціях іншої (єдиної) змінної, $\operatorname {hom} (X\times Y,Z)\cong \operatorname {hom} (X(\operatorname {hom} (Y,Z))$) категорія множин є замкнутою моноїдною категорією з декартовим добутком множин як тензорним добутком і одноточковою множиною як тензорною одиницею. В ізоморфізмах $\lambda :1\times X\cong X\cong X\times 1:\rho$ натуральних в X, ліві та праві одиниці являють собою проєкції $p_{1}$ і $p_{2}$ впорядкованих пар $(*,x)$ і $(x,*)$ відповідно до елемента $x$, де $*$ є унікальною точкою в одноточковій множині.

Функція на зв'язаній множині є локально стала тоді і тільки тоді, коли вона стала.

Примітки

• Herrlich, Horst and Strecker, George E., Category Theory, Heldermann Verlag (2007).

Посилання

• Weisstein, Eric W. Constant Function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Constant function на PlanetMath