Класи Бера

Класи Бера — множини дійснозначних функцій, означені індуктивно, введені Рене-Луі Бером в 1899 році.

Означення

Надалі розглядаємо функції $f:A\rightarrow R$, де $A$ — метричний простір.

• До класу Бера 0 відносяться всі неперервні функції.
• До класу Бера 1 відносяться всі розривні функції, які є поточковою границею послідовності неперервних функцій.
• До класу Бера n > 0 відносять функції, які не належать жодному класу Бера m < n, але які можна подати як поточкову границю послідовності функцій класів m < n.

Нумерація класів Бера не обмежується натуральними числами, і може бути продовжена за допомогою трансфінітних чисел.

Властивості

Надалі $\alpha$ — порядкове число.

• Лінійна комбінація, добуток та частка функцій з класу Бера з номером не вище ніж $\alpha$ теж належать до класу Бера з номером не вище ніж $\alpha$.
• Рівномірно збіжна послідовність функцій з класів з номером не більше ніж $\alpha$ має границю з класу Бера з номером не більше ніж $\alpha$.
• Похідна довільної диференційовної функції належить або класу Бера 0 або класу Бера 1.
• Функція Діріхле належить до класу Бера 2.
• Кожен клас Бера — непорожній.
• Існують функції, що не належать до жодного класу Бера.
• Множина берівських функцій (множина функцій, що належать до якогось класу Бера) збігається з множиною Борелівських функцій.
• Всі берівські функції вимірні.
• Кожна вимірна функція (за Лебегом) еквівалентна (тобто відрізняється на множині міри нуль) функції з класу Бера не вище ніж 2.
• Розривна функція належить до першого класу Бера тоді й лише тоді, коли вона має точку неперервності на кожній досконалій множині.

Посилання

• Baire classes [Архівовано 10 Листопада 2012 у Wayback Machine.]