Трансфінітне число

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Трансфінітне число — це числа, які є «нескінченними» в тому сенсі, що вони більші, ніж усі скінченні числа, але не обов'язково абсолютно нескінченні. Термін трансфінітне число був придуманий Георгом Кантором, який хотів уникнути деяких наслідків використання терміну нескінченний у зв'язку з тими об'єктами, які не є скінченними. Зараз прийнято називати трансфінітні кардинали та ординали «нескінченними» числами.

Визначення

[ред. | ред. код]

Як і скінченні числа, трансфінітні числа можуть використовуватись: як порядкові та кількісні числа. На відміну від кінцевих, трансфінітні ординали і кардинали є різними класами чисел.

Континуум-гіпотеза стверджує, що не існує ніяких проміжних кардиналів між алеф-нуль і потужностю континуума (множини дійсних чисел): тобто, алеф-один це потужність множини дійсних чисел. (Якщо теорія Цермело-Френкеля (ZFC) несуперечлива, то ні континуум-гіпотези, ні його заперечення не може бути доведено з ZFC .)

Деякі автори як П. Суппес і Дж. Рубін, використовують термін трансфінітні кардинали для потужності Дедекінд-нескінченних множин, в умовах, коли це може бути не еквівалентно «нескінченному кардиналу», тобто, коли Аксіома зліченного вибору не передбачається, або не виконується. Виходячи з цього визначення, є наступні еквівалентні:

  • м це трансфінітний кардинал. Тобто, існує Дедекінд-нескінченна множина А така, що потужність A рівна м.
  • м + 1 = м.
  • м.
  • Існує кардинал п, що + п = м.

Трансфінітні числа є розширенням натуральних чисел.

Розширенням дійсних чисел є сюрреальні числа і гіпердійсні числа.

Див. також

[ред. | ред. код]

Посилання

[ред. | ред. код]