Користувач:Чаус Денис/Підсумовуючі функції
Підсумовуюча функція — функцiя, що ставить у вiдповiднiсть ряду його значення . Не “класичнi” способи для встановлення вiдповiдностi ряд–число використовуються в регуляризацiях, теорiї чисел (Аналітичне продовення дзета-функцiї Рiмана) та iнших областях математики та фiзики.
Важливо розумiти, що знак рiвностi в, наприклад, не означає, що сума натуральних чисел прямо дорiвнює вiд’ємному дробовому числу.
Визначити суму ряду як границю часткових сум (класичне визначення) було доволi природно, але таке визначення не може дати числовий результат для багатьох рядiв (як у прикладi вище).
Альтернативнi пiдсумовуючi функцiї i поняття регуляризацiй в цiлому буде легше сприймати, якщо “забути” про класичне визначення i намагатися прирiвнювати ряди до чисел на пiдставi iнших “подiбностей”.
Розглядаючи ряд
можна помiтити, що, якщо помножити його на 2 i додати 1, то ряд перейде в себе ж. Це цiкава властивiсть i точно таку ж властивiсть має число −1, а iншi числа — нi (звернiть увагу, що при, наприклад, множеннi на 4 i додаваннi 3 висновок той же).
Це, звiсно, не строге доведення, але такий приклад дає розумiння того, чому iснують альтернативнi пiдсумовуючi функцiїю.
Для пiдсумовуючих функцiй виконуються наступнi властивостi:
- Лінійність: якщо і , то .
- Стабільність (інваріантність до зсуву): якщо , то .
- Регулярність: якщо в класичному сенсі, то і з іншою підсумовуючою функцією.
Залежно вiд поставленої мети допускається невиконання якоїсь умови вище, або накладання додаткових. Але виконання трьох згаданих вище умов уже достатньо, щоб вважати функцiю пiдсумовуючою.
У класичному визначенні шукаємо границю часткових сум. Тобто,
- .
Наприклад,
- .
У такому випадку шукаємо границю середнього арифметичного часткових сум. Тобто,
- .
Наприклад,
- .
У такому випадку присвоюємо сумі значення за такою формулою:
- .
Наприклад,
- .
- Збіжність за Чезаро
- Збіжність за Пуассоном — Абелем
- Збіжність за Борелем
- Збіжність за Ейлером
- Дзета-функція Рімана
- Hardy, G. H. (2000). Divergent series. American Mathematical Society, 334.
- Фихтенгольц, Г. М. (1966). Курс дифференциального и интегрального исчисления. Рипол Классик.