Локалізація кільця

В комутативній алгебрі локалізацією комутативного кільця R (з одиницею) по мультиплікативній системі $S\subset R$ називається простір формальних дробів з чисельниками з R і знаменниками з S з арифметичними операціями і ототожненнями, звичайними для дробів. Використовується також термін кільце часток. Позначається як S^-1R .

Термін локалізація походить з алгебраїчної геометрії: якщо R — це кільце функцій на алгебраїчному многовиді V, то для того, щоб вивчити локальні властивості цього многовида в точці p, зазвичай розглядають множину функцій, які не рівні нулю в цій точці і локалізують R по цій множині.

Звичайне позначення для локалізації (або кільця часток) — S^-1R, проте в окремих випадках частіше вживають інші позначення. Так, якщо S — доповнення простого ідеалу I, локалізація R позначається як R_I (і називається локалізацією кільця по простому ідеалу), а якщо S — множина всіх степенів елемента f, використовується позначення R_f . Останні два випадки є фундаментальними для теорії схем.

Формальне визначення

За допомогою формальних дробів

Мультиплікативною системою в кільці R називається підмножина S в R, така що $1\in S,\;0\not \in S$ і множина S є замкнутою щодо множення в кільці R, тобто з того що $a,b\in S$ випливає, що також $ab\in S$ .

Елементами локалізації кільця R по мультиплікативній системі S є формальні дроби виду r/s, де r — довільний елемент R, а s — елемент множини S. Два дроби $r_{1}/s_{1}$ і $r_{2}/s_{2}$ вважаються еквівалентними (є представниками одного і того ж елемента кільця часток), якщо для деякого елемента $t\in S$ справедливо $t(r_{1}s_{2}-r_{2}s_{1})=0$ . Якщо R — цілісне кільце, тобто в ньому немає дільників нуля то очевидно для нього має виконуватися простіше правило еквівалентності: два дроби $r_{1}/s_{1}$ і $r_{2}/s_{2}$ є еквівалентними, якщо $r_{1}s_{2}-r_{2}s_{1}=0$ .

Операції додавання і множення визначаються як звичайно для дробів:

r_{1}/s_{1}+r_{2}/s_{2}=(r_{1}s_{2}+r_{2}s_{1})/s_{1}s_{2}

r_{1}/s_{1}*r_{2}/s_{2}=r_{1}r_{2}/s_{1}s_{2}

Перевіряється, що, якщо в сумі або добутку дроби замінити на еквівалентні, новий результат буде дробом, еквівалентним попередньому. З такими операціями множина $S^{-1}R$ набуває структури комутативного кільця з одиницею. Нулем в ньому є дріб 0/1, одиницею — дріб 1/1. Елементи початкового кільця R можна ідентифікувати з елементами виду r/1 в кільці S ^-1 R. Відображення $l_{S}\,:\,R\rightarrow S^{-1}R$ , що відображає елемент r в r/1 є гомоморфізмом кілець.

Через універсальну властивість

Нехай, як і вище R — комутативне кільце з одиницею і S деяка його мультиплікативна система.

Локалізація кільця R по мультиплікативній системі S має наступну властивість універсальності:

l_{S}(S)\subset (S^{-1}R)^{*},

тобто образи елементів з S у кільці

S^{-1}R

є оборотними елементами і окрім того для любих гомоморфізмів

f:R\rightarrow B

, для яких

f(S)\subset B^{*}

тобто образи елементів з S є оборотними, існує єдиний гомоморфізм

g\,:\,S^{-1}R\rightarrow B

для якого

f=g\circ l_{S}

.

Дана властивість повністю визначає локалізацію R по S: Якщо деяке інше кільце задовольняє умову універсальності подану вище то воно є ізоморфним до $S^{-1}R.$

Властивості

Кожен оборотний елемент кільця S^-1R має вигляд er/s, де r і s належать множині S, а e — оборотний елемент кільця R.
Кожен ідеал кільця S^-1R є породжений елементами з множини $l_{S}(I)$ де I — деякий ідеал кільця R.
Існує бієкція між множиною простих ідеалів кільця S^-1R і множиною простих ідеалів R, що не перетинаються з множиною S.
Якщо, як вище, ідеали I^S і J^S кільця S^-1R породжені елементами $l_{S}(I)$ і $l_{S}(J),$ де I і J — ідеали кільця R, то ідеали I^S + J^S, I^SJ^S породжені елементами з $l_{S}(I+J)$ і $l_{S}(IJ)$ відповідно. Також ${\sqrt {I^{S}}}$ (радикал ідеалу) породжується елементами з $l_{S}({\sqrt {I}})$
Як наслідок з попереднього, нульрадикал кільця S^-1R породжується образами нульрадикала кільця R при канонічному відображенні.
Нехай I — ідеал кільця R, і $p:R\to R/I$ — природна проєкція на фактор-кільце. Для мультиплікативної системи S, що не перетинається з I позначимо через T образ цієї множини при цій проєкції. Тоді p породжує сюр'єктивний гомоморфізм ${\bar {p}}:S^{-1}R\to T^{-1}(R/I)$ і кільця $T^{-1}(R/I)$ і $S^{-1}R/(IS^{-1}R)$ є ізоморфними.
Нехай $S,S'$ — мультиплікативні системи в кільці R і $S\subset S'.$ Тоді кільце часток $(S')^{-1}R$ є ізоморфним кільцю $(l_{S}(S'))^{-1}(S^{-1}R).$
Локалізація кілець Нетер, Артіна і Дедекінда теж є кільцями відпвідно Нетер, Артіна і Дедекінда.

Локалізація по простому ідеалу

Важливий окремий випадок локалізації — локалізація кільця по простому ідеалу I, коли мультиплікативна система є доповненням цього ідеалу в кільці. В цьому випадку локалізація позначається як R_I. Для локалізації кільця по простому ідеалу справедливі такі властивості:

Локалізація R_I по простому кільці є локальним кільцем. Його єдиний максимальний ідеал породжується образами ідеала I.
Існує бієкція між простими ідеалами в R_I і простими ідеалами в R, що містяться у I.
Якщо S — мультиплікативна система, що не перетинається з I, то R_I є ізоморфним $(S^{-1}R)_{I}.$
Зокрема поле часток кільця R є ізоморфним полю часток кільця R_I.

Приклади

Якщо R — цілісне кільце, множина всіх його ненульових елементів утворює мультиплікативну систему. Кільце часток за цією системою є полем і називається полем часток, зазвичай позначається Quot (R). Всі елементи поля часток мають вигляд a/ b, де a, b — елементи R і b ≠ 0, зі звичайними арифметичними правилами скорочення чисельника і знаменника, додавання і множення. Легко бачити, що поле часток — найменше поле, в яке можна вкласти R. Наприклад, поле часток поля є ізоморфним самому полю.
Полем часток кільця цілих чисел $\mathbb {Z}$ є поле раціональних чисел $\mathbb {Q}$ .
Степені числа 10 в $\mathbb {Z}$ утворюють мультиплікативну систему. Кільцем часток по ній буде кільце скінченних десяткових дробів.
Полем часток кільця многочленів $k[X_{1},X_{2},...,X_{n}]$ над полем k буде поле раціональних функцій $k(X_{1},X_{2},...,X_{n})$ .
Парні числа в $\mathbb {Z}$ утворюють простий ідеал. Локалізацією кільця $\mathbb {Z}$ по ньому буде кільце раціональних дробів, у яких в нескоротному вигляді знаменник — непарне число.
Розглянемо кільце многочленів k[x] і f = x. Тоді R_f — кільце многочленів Лорана k[x, x^-1].
Якщо R — евклідове кільце, то всяке кільце, проміжне між R і його полем часток, є локалізацією кільця R за деякою мультиплікативною системою S.
Якщо система S складається з одних тільки оборотних елементів кільця R, канонічний гомоморфізм кільця R в S ^-1 R перетворюється в ізоморфізм, тобто S ^-1 R в цьому випадку є ізоморфним кільцю R.

Модулі часток

Приблизно таку ж конструкцію можна застосувати і до модулів і для довільного R-модуля M розглянути локалізацію модуля S^-1M .

Локалізація модуля S^-1M — це множина формальних дробів виду m/s із відношенням еквівалентності $m_{1}/s_{1}\equiv m_{2}/s_{2}$ , якщо $t(m_{1}s_{2}-m_{2}s_{1})=0$ , для деякого елемента $t\in S$ , зі звичайною операцією додавання дробів, а також з операцією множення на елементи кільця S ^-1R виду m/s * a/s'= am / ss' .

Еквівалентно, як і для випадку кілець локалізацію модуля можна визначити за допомогою універсальної властивості аналогічної випадку кілець.

Нехай $u:M\to N$ — гомоморфізм R-модулів. Він індукує гомоморфізм S^-1R-модулів $S^{-1}u:S^{-1}M\to S^{-1}N$ , що відображає m/s в u(m)/s . Очевидно, що $S^{-1}(u\circ v):S^{-1}u\circ S^{-1}v$ , тобто операція S^-1 є функтором. Більш того, цей функтор є точним. Тобто, якщо послідовність $M_{1}\;{\xrightarrow {v}}\;M_{2}\;{\xrightarrow {u}}\;M_{3}$ є точною, то і індукована послідовність $S^{-1}M_{1}\;{\xrightarrow {S^{-1}v}}\;S^{-1}M_{2}\;{\xrightarrow {S^{-1}u}}\;S^{-1}M_{3}$ є точною.

З цього випливає, що якщо $M'$ є підмодулем $M$ , то і $S^{-1}M'$ є підмодулем $S^{-1}M$ . Якщо ж ми розглянемо два підмодуля даного модуля, то застосування до них S ^-1 комутує із операцією суми модулів, перетину модулів і операцією переходу до фактор-модуля. Також локалізація тензорного добутку двох R-модулів ізоморфна тензорному добутку їх локалізацій.

Локалізацію модуля також можна записати за допомогою тензорного добутку: $S^{-1}M\cong S^{-1}R\otimes _{R}M.$

З цього запису і з точності функтора локалізації випливає, що модуль $S^{-1}M$ є плоским.

R-модуль M є нульовим тоді і тільки тоді коли для довільного простого ідеала I локалізація M по I є нульовим модулем. Те саме твердження справедливе, якщо замість простих ідеалів розглядати лише максимальні.

Локальні властивості

Властивість P кільця А (або А - модуля M) називається локальною якщо такі твердження еквівалентні:

R (відповідно M) має властивість P,
R_I (відповідно M_I ) має властивість P для всіх простих ідеалів I кільця А.

Можна навести такі приклади локальних властивостей: властивість модуля бути рівним нулю, властивість гомоморфізму бути ін'єктивним або сюр'єктивним (потрібно розглядати гомоморфізми, індуковані локалізацією), властивість модуля бути плоским.

Див. також

Джерела

Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — Москва : ИЛ, 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)
Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — Москва : Мир, 1971. — С. 707. — (Елементи математики)(рос.)
Gopalakrishnan, N. S. (1984). Commutative Algebra. Oxonian Press. с. 290.