Метод варіації параметрів

Метод варіації параметрів або метод варіації довільної сталої (англ. variation of parameters, variation of constants) — це загальний метод для розв'язання неоднорідних лінійних звичайних диференціальних рівнянь. А саме знаходження часткового розв'язку неоднорідного рівняння, знаючи розв'язок відповідного однорідного рівняння.

Для неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь першого порядку зазвичай можливо з набагато меншими зусиллями знайти розв'язки, використовуючи інтегрувальний множник або невизначені коефіцієнти, хоча ці методи послуговуються евристиками, що вимагає вгадування і не спрацьовує для всіх неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь.

Варіацію параметрів можна також поширити і на диференціальні рівняння з частинними похідними, конкретно на неоднорідні задачі для рівнянь лінійної еволюції як-от рівняння теплопровідності, хвильове рівняння і рівняння вібрування пластини. У цих умовах, метод відомий як принцип Дюамеля.

Лінійне диференціальне рівняння першого порядку

$y'+p(x)y=q(x)$

Розв'яжемо відповідне ЛОР і запишемо його загальний розв'язок.

$y'+p(x)y=0$.

Однорідне рівняння можна розв'язати довільним методом, наприклад методом розділення змінних:

${\frac {d}{dx}}y+p(x)y=0$

${\frac {dy}{dx}}=-p(x)y$

${dy \over y}=-{p(x)dx},$

$\int {\frac {1}{y}}\,dy=-\int p(x)\,dx$

$ln{(y)}=-\int p(x)\,dx+C$

$y=e^{-\int p(x)\,dx+C}=Ce^{-\int p(x)\,dx}$

Загальний розв'язок:

$y_{3}=Ce^{-\int p(x)\,dx}$

Тепер розв'яжемо неоднорідне рівняння:

$y'+p(x)y=q(x)$

Використовуючи метод варіації довільних сталих, ми отримаємо частковий розв'язок із загального:

$y_{4acm}=C(x)e^{-\int p(x)\,dx}$

Підставляючи частковий розв'язок в нелінійне рівняння ми можемо знайти C(x):

$C'(x)e^{-\int p(x)\,dx}-C(x)p(x)e^{-\int p(x)\,dx}+p(x)C(x)e^{-\int p(x)\,dx}=q(x)$

$C'(x)e^{-\int p(x)\,dx}=q(x)$

$C'(x)=q(x)e^{\int p(x)\,dx}$

$C(x)=\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx+C$

Тоді частковий розв'язок:

$y_{4acm}=Ce^{-\int p(x)\,dx}\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx$

І загальний розв'язок лінійного неоднорідного рівняння є сумою загального розв'язку відповідного однорідного рівняння та деякого частинного розв'язку лінійного неоднорідного рівняння:

$y=y_{3}+y_{4acm}$

$y=Ce^{-\int p(x)\,dx}\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx+Ce^{-\int p(x)\,dx}$

Звичайне диференціальне рівняння другого порядку

$y''+p(x)y'+q(x)y=g(x).$

Припустимо, що нам відомі лінійно незалежні розв'язки $y_{1}(x)$ і $y_{2}(x)$ для відповідного однорідного рівняння

$y''+p(x)y'+q(x)y=0,$

тоді ми шукаємо $v_{1}(x)$ і $v_{2}(x)$ такі, що

$y^{*}=v_{1}y_{1}+v_{2}y_{2}$

$y^{'*}=(v_{1}^{'}y_{1}+v_{2}^{'}y_{2})+(v_{1}y_{1}^{'}+v_{2}y_{2}^{'}).$

Тепер накладемо таку додаткову умову:

$v_{1}^{'}y_{1}+v_{2}^{'}y_{2}=0$

отже

$y^{'*}=v_{1}y_{1}^{'}+v_{2}y_{2}^{'}$

$y^{''*}=v_{1}^{'}y_{1}^{'}+v_{2}^{'}y_{2}^{'}+v_{1}y_{1}^{''}+v_{2}y_{2}^{''}$

Підставимо $y^{*},y^{'*}$ і $y^{''*}$ в початкове рівняння, у результаті отримуємо

$v_{1}(y_{1}^{''}+py_{1}^{'}+qy_{1})+v_{2}(y_{2}^{''}+py_{2}^{'}+qy_{2})+v_{1}^{'}y_{1}^{'}+v_{2}^{'}y_{2}^{'}=g(x),$

що спрощується до

$v_{1}^{'}y_{1}^{'}+v_{2}^{'}y_{2}^{'}=g(x).$

Разом із додатковою умовою маємо систему

$\left\{{\begin{matrix}v_{1}^{'}y_{1}+v_{2}^{'}y_{2}=0\\v_{1}^{'}y_{1}^{'}+v_{2}^{'}y_{2}^{'}=g(x)\end{matrix}}\right.\ .$

Для розв'язання щодо $v_{1}^{'}$ і $v_{1}^{'}$ використаємо правило Крамера, отримуємо

$v_{1}^{'}={\begin{vmatrix}0&y_{2}\\g(x)&y_{2}^{'}\end{vmatrix}}/{\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}\\y_{1}^{'}&y_{2}^{'}\end{vmatrix}}=-{y_{2}\ g(x) \over W(x)}$

$v_{2}^{'}={\begin{vmatrix}y_{1}&0\\y_{1}^{'}&g(x)\end{vmatrix}}/{\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}\\y_{1}^{'}&y_{2}^{'}\end{vmatrix}}={y_{1}\ g(x) \over W(x)},$

де $W(y_{1},y_{2})=W(x)=y_{1}\ y_{2}^{'}-y_{2}\ y_{1}^{'}$

це визначник Вронського, який є функцією тільки від $x,$ отже ми можемо проінтегрувати і отримати

$v_{1}\equiv -\int {y_{2}\ g(x) \over W(x)}\,dx$

$v_{2}\equiv \int {y_{1}\ g(x) \over W(x)}\,dx,$

довільні сталі інтегрування можна опустити, оскільки нам достатньо одного часткового розв'язку. Тепер, отримані $v_{1}(x)$ і $v_{2}(x),$ можна підставити для отримання часткового розв'язку

$y^{*}=v_{1}y_{1}+v_{2}y_{2}.$

Посилання

Weisstein, Eric W. Метод варіації параметрів(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.