Рівняння в повних диференціалах

Диференціальні рівняння
Види рівнянь Звичайні З частинними похідними Лінійні Нелінійні Автономні Алгебраїчні Диференціально-алгебраїчні Інтегро-диференціальні Однорідні Рівняння в повних диференціалах Стохастичні З запізненням
Загальні теми Фазовий простір Інтегральна крива Теорема Пікара — Лінделефа Фазовий портрет Диференціальний оператор Визначник Вронського Стійкість Чисельне інтегрування Фундаментальна матриця
Методи розв'язання Метод характеристик Розділення змінних Знижування порядку Інтегрувальний множник Метод невизначених коефіцієнтів Метод варіації параметрів Метод Ейлера Метод Рунге — Кутти Метод Адамса Метод скінченних різниць Метод Кранка-Ніколсон Метод скінченних елементів Метод Гальоркіна Інтегральне перетворення Теорія збурень
Відомі рівняння Рівняння Лотки-Вольтерри Дивний атрактор Лоренца Рівняння Дуффінга Осцилятор Ван дер Поля Система Хенона-Гейлса Рівняння Ріккаті Хвильове рівняння Рівняння Лапласа Рівняння дифузії Рівняння Бюргерса Рівняння Нав'є — Стокса Рівняння Гамільтона — Якобі Рівняння Коші-Ейлера Рівняння Бернуллі Модель Годжкіна — Гакслі Схема Чуа Атрактор Рьослера Модель Курамото
Математики Ісаак Ньютон Ґотфрід Лейбніц Леонард Ейлер П'єр-Симон Лаплас Жозеф Ліувілль Жозеф-Луї Лагранж Анрі Пуанкаре Рудольф Ліпшиц Олександр Ляпунов Еміль Пікар Карл Рунге Джон Кранк

Рівняння в повних диференціалах (англ. exact differential equation, total differential equation) — різновид звичайного диференціального рівняння, який широко використовується в фізиці і інженерії.

Визначення

Маємо однозв'язну область і відкриту підмножину D в R² і дві неперервні в D функції I та J, тоді неявне звичайне диференціальне рівняння першого порядку у вигляді

$I(x,y)\,\mathrm {d} x+J(x,y)\,\mathrm {d} y=0,\,\!$

називають Рівняння в повних диференціалах, якщо існує неперервно-диференційовна функція F, яку звуть функція потенціалу, така що

${\frac {\partial F}{\partial x}}=I$

і

${\frac {\partial F}{\partial y}}=J.$

Назва «рівняння в повних диференціалах» стосується повної похідної функції. Для функції $F(x_{0},x_{1},...,x_{n-1},x_{n})$, повна похідна щодо $x_{0}$ така

${\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} x_{0}}}={\frac {\partial F}{\partial x_{0}}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} x_{0}}}.$

Приклад

Функція $F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ отримується з:

$F(x,y)={\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})+c$

І є функцією потенціалу для диференціального рівняння:

$x\,\mathrm {d} x+y\,\mathrm {d} y=0.\,$

Існування функції потенціалу

У фізичних застосуваннях функції I та J зазвичай не тільки неперервні, але й неперервно-диференційовні. Теорема Шварца надає нам необхідний критерій існування функції потенціалу. Для диференціальних рівнянь на однозв'язній множині критерій також достатній і ми отримуємо така теорему: Диференціальне рівняння у формі:

$I(x,y)\,\mathrm {d} x+J(x,y)\,\mathrm {d} y=0,\,\!$

де I та J неперервно-диференційовні на однозв'язній і відкритій підмножині D в R², тоді функція потенціалу F існує тоді і тільки тоді

${\frac {\partial I}{\partial y}}(x,y)={\frac {\partial J}{\partial x}}(x,y).$

Джерела

• Самойленко А. М.; Перестюк М. О.; Парасюк I.О. (2003). Диференціальні рівняння (PDF). Київ: Либідь. с. 600. ISBN 966-06-0249-9.(укр.)
• Кривошея С.А.; Перестюк М.О.; Бурим В.М. (2004). Диференціальні та інтегральні рівняння (PDF). Київ: Либідь. с. 407. ISBN 966-06-0348-7.(укр.)
• Рівняння в повних диференціалах на math24.net (англ.)