Множина Сміта — Вольтерри — Кантора

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Після видалення всіх чорних інтервалів білі точки утворюють ніде не щільну множину міри 1/2.

Множина Сміта — Вольтерри — Кантора (СВК, товста множина Кантора, -множина Кантора[1]) — приклад множини точок на дійсній прямій , яка є ніде не щільною (зокрема не містить інтервалів) але має додатну міру. Як топологічний простір із успадкованою топологією із стандартної топології одиничного відрізка є гомеоморною класичній множині Кантора. Названо на честь математиків Генрі Сміта, Віто Вольтерри та Георга Кантора.

Побудова

[ред. | ред. код]

Аналогічно побудові множини Кантора, множина Сміта — Вольтерри — Кантора будується шляхом видалення певних інтервалів з одиничного інтервалу .

Процес починається з видалення відкритого інтервалу довжини із середини , після чого одержується множина:

.

Під час наступних кроків видаляються підінтервали довжини із середини кожного із інтервалів, що залишилися після попереднього кроку. Зокрема на другому кроці видаляються інтервали та , залишаючи:

Формально якщо позначити і множину після n-1 кроків як:

де:

то після n-го кроку одержується множина:

.

Результати перших п'яти ітерацій цього процесу зображені на малюнку:

Елементами множини Сміта — Вольтерри — Кантора є точки, що ніколи не вилучаються під час цього процесу, тобто належать усім Іншими словами множина є рівною перетину .

Властивості

[ред. | ред. код]

Множина Сміта — Вольтерри — Кантора є перетином замкнутих множин , а тому і сама є замкнутою множиною. Окрім того вона не містить інтервалів, а тому має порожню внутрішність, тобто є ніде не щільною множиною. Справді кожна множина є диз'юнктним об'єднанням замкнутих інтервалів довжина кожного із яких є меншою . Відповідно для довільного для тих n для яких множина не може містити жодного відкритого інтервалу довжини Оскільки є довільним, а множина Сміта — Вольтерри — Кантора є підмножиною будь-якої , то вона не може містити відкритого інтервалу будь-якої довжини.

Кожна наступна ітерація в побудові множини видаляє пропорційно менше з інтервалів, що залишилися. Цей процес відрізняється від побудови множини Кантора , де пропорція частини, що видаляється, на кожному інтервалі залишається постійною. Тому множина Сміта — Вольтерри — Кантора має додатну міру, тоді як множина Кантора має міру нуль.

Детальніше, протягом процесу побудови множини з відрізка на n-му кроці видаляються інтервалів, довжина кожного із яких є рівною Відповідно видаляються відрізки сумарною довжиною Загалом множина усіх точок, що видаляються на якомусь кроці процесу є диз'юнктним об'єднанням зліченної кількості інтервалів. Відповідно вона, а також множина Сміта — Вольтерри — Кантора, яка є її доповненням є борелівськими множинами і для них існує міра Лебега. Зокрема із порахованої вище міри множини, що видаляється на кожному кроці і зліченної адитивності міри, загальна міра множини, що видаляється є рівною:

.

Відповідно і для її доповнення, тобто множини Сміта — Вольтерри — Кантора міра Лебега є рівною .

Також множина Сміта — Вольтерри — Кантора є прикладом компактної множини, для якої міра Жордана є невизначеною. Внутрішня міра Жордана є рівною 0, адже множина не містить інтервалів. Зовнішня є рівною оскільки усі є покриттями скінченними кількостями інтервалів, сумарна довжина інтервалів для різних прямує зверху до і усі покриття множини Сміта — Вольтерри — Кантора скінченною кількістю замкнутих інтервалів містять зрештою якусь із .

Відповідно характеристична функція множини Сміта — Вольтерри — Кантора є прикладом обмеженої функції, що не інтегрується за Ріманом на відрізку але для якої існує інтеграл Лебега (рівний ).

Узагальнення

[ред. | ред. код]

У загальному випадку можна видалити з кожного підінтервалу на -му кроці алгоритму. Одержана множина буде мати додатну міру тоді і тільки тоді, коли сума послідовності менша за міру вихідного інтервалу. Якщо припустити, що на кожній -ій ітерації видаляється середина інтервалу довжини , де (для побудова є неможливою), міра Лебега множини точок, що не видаляються є рівною:

.

Таким чином, множина буде мати додатну міру якщо

Прямий добуток множин Сміта — Вольтерри — Кантора може бути використаний для побудови цілком незв'язних множин нульової міри у просторах більш високих розмірностей. Застосовуючи теорему Данжуа — Ріса до двовимірних множин цього типу можна знайти жорданову криву, що має додатну площу.

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Aliprantis and Burkinshaw (1981), Principles of Real Analysis

Див. також

[ред. | ред. код]

Джерела

[ред. | ред. код]