Заряд (теорія міри)

Зарядом (або знакозмінною мірою) у математиці, зокрема теорії міри називається узагальнення поняття міри множини, що може набувати будь-яких дійсних значень, а не лише невід'ємних чисел.

Означення

Загалом у літературі існують різні означення терміну заряд. Одним із поширених і досить загальних є таке:

зарядом називається скінченно адитивна функція множин, визначена на деякій алгебрі множин із значеннями на розширеній дійсній прямій $\mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}.$ Іншими словами для множини $X$ і заданої на ній алгебри підмножин ${\mathcal {A}}$ функція $\mu :{\mathcal {A}}\to \mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}$ називається зарядок якщо:

• $\mu (\varnothing )=0,$
• Якщо $A,B\in {\mathcal {A}}$ і $A\cap B=\varnothing$, то $\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).$

Оскільки вирази на зразок $\infty -\infty$ є невизначеними то заряд для якого $\mu (A)=+\infty ,$ а $\mu (X\setminus A)=-\infty$ є неприпустимим. Звідси якщо $\mu (A)=+\infty$ то і $\mu (X)=+\infty$. Аналогічно якщо $\mu (B)=-\infty ,$ то і $\mu (X)=-\infty$. Відповідно заряд може набувати щонайбільше одного із значень $\{\infty ,-\infty \}.$ Оскільки для заряду $\mu$ функція $-\mu$ теж є зарядом основні властивості якого є аналогічним до $\mu$ то у визначенні заряду іноді конкретизують, що він може приймати лише значення $+\infty ,$ тобто областю значень є множина $(-\infty ,+\infty ].$

Дійсним зарядом називається заряд значеннями якого є лише дійсні числа (тобто заряд жодної множини не є безмежним). Іноді термін заряд використовується лише для дійсних зарядів. Також важливим є поняття обмеженого заряду, тобто заряду для якого $\sup _{A\in {\mathcal {A}}}|\mu (A)|<\infty .$ Додатним зарядом називається заряд для якого $\mu (A)\geqslant 0$ для всіх $A\in {\mathcal {A}}<\infty .$

Дуже часто в означенні заряду вимагається властивість σ-адитивності.

Σ-адитивним зарядом називається заряд (у найзагальнішому означенні) для якого додатково виконується умова:

$\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})$

для будь-якої послідовності множин $A_{1}$, $A_{2},\ldots ,A_{n},\ldots$ для якої ${\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {A}}}$ і $A_{i}\cap A_{j}=\varnothing$ для $i\neq j$. Найчастіше у цьому випадку заряд розглядається на σ-алгебрі.

Приклади

• Нехай $\mu _{1}$ і $\mu _{2}$ є стандартними мірами на $(X,{\mathcal {A}})$ і хоча б одна із цих мір є скінченною. Тоді $\mu =\mu _{1}-\mu _{2}$ є σ-адитивним зарядом на $(X,{\mathcal {A}})$. Якщо обидві міри є скінченними, то заряд є обмеженим. Якщо для $\mu _{1}$ і $\mu _{2}$ вимагати лише скінченну адитивність, то $\mu$ буде (скінченно адитивним) зарядом.
• Нехай $X=\mathbb {N}$ — множина натуральних чисел і ${\mathcal {A}}$ є алгеброю елементами якої є множини, які або самі є скінченними або мають скінченні доповнення. Тоді функція задана як $\mu (A)=$ кількості елементів A, якщо A є скінченною і -(кількості елементів $X\setminus A$), якщо $X\setminus A$ є скінченною (зокрема $\mu (X)=0$) є дійсним необмеженим зарядом.
• Нехай $X=[0,\ 1)$ і ${\mathcal {A}}$ є алгеброю породженою напівалгеброю інтервалів виду $[a,\ b)$ для $0\leqslant a\leqslant b\leqslant 1.$ Елементами ${\mathcal {A}}$ є скінченні диз'юнктні об'єднання інтервалів вказаного виду. Нехай $f:X\to \mathbb {R}$ — довільна дійснозначна функція. Тоді якщо визначити $\mu _{f}([a,\ b))=f(b)-f(b)$ і для всіх множин алгебри ${\mathcal {A}}$ продовжити за адитивністю, то $\mu _{f}$ є зарядом.

Вибираючи конкретні $f$ можна одержати багато цікавих прикладів і контрприкладів зарядів. Нехай, наприклад, $f(x)=0$ якщо $x$ є ірраціональним числом або $x=0$ і $f\left({m \over n}\right)=n$ для раціональних чисел записаних через нескоротний дріб як ${m \over n}.$ Тоді відповідний заряд $\mu _{f}$ є дійсним але не обмеженим ні зверху ні знизу. Навіть більше для кожної множини $A\in {\mathcal {A}}$ існують підмножини із зарядами більшими за будь-яке додатне число і підмножини із зарядами меншими за будь-яке від'ємне число.

Також $\mu _{f}$ у цьому випадку є скінченно адитивном (за побудовою) але не σ-адитивним. Дійсно $\mu _{f}([0,\ 1))=f(1)-f(0)=1-0=1$ і якщо $x_{i},\ i\geqslant 0$ є строго зростаючою послідовністю додатних ірраціональних чисел для яких ${\textstyle \lim _{i\to \infty }x_{i}=1}$ і $x_{0}=0$ то ${\textstyle [0,\ 1)=\bigcup _{i=0}^{\infty }[x_{i},\ x_{i+1})}$ але

$\mu _{f}([,\ 1))=1\neq 0=\sum _{i=0}^{\infty }\mu _{f}([x_{i},\ x_{i+1})).$

• Нехай (X, Σ) є вимірним простором, $\nu$ — міра на ньому і f: X → R — вимірна функція для якої

$\int _{X}\!|f(x)|\,d\nu (x)<\infty .$

Тоді на (X, Σ) можна ввести σ-адитивний заряд для якого

$\mu (A)=\int _{A}\!f(x)\,d\nu (x)$

для всіх A із Σ. Цей заряд є прикладом дійсного σ-адитивного заряду.

• Подібний приклад σ-адитивного заряду, що набуває значень +∞ можна одержати якщо послабити вимоги до функції f і замість абсолютної інтегровності вимагати виконання умови:

$\int _{X}\!f^{-}(x)\,d\nu (x)<\infty ,$

де f⁻(x) = max(−f(x), 0).

Властивості

Загальні вдастивості

Всюди нижче множини $A,B$ належать деякій алгебрі ${\mathcal {A}}$ підмножин множини X і $\mu$ є зарядом на ${\mathcal {A}}$.

• Для довільної скінченної кількості множин $A_{i}\in {\mathcal {A}},\ i=1,\ldots ,n$ для яких $A_{i}\cap A_{j}=\varnothing$ для $i\neq j$ виконується рівність (скінченна адитивність):

${\textstyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\mu (A_{i}).}$

• Якщо $A\subset B$ і $-\infty <\mu (A)<\infty$ тоді $\mu (B\setminus A)=\mu (B)-\mu (A).$
• Якщо $A\subset B$, то з того, що $\mu (B)<\infty$ випливає, що і $\mu (A)<\infty$; аналогічно, якщо $\mu (B)>-\infty$ то і $\mu (A)>-\infty .$
• $\mu (A)+\mu (B)=\mu (A\cup B)+\mu (A\cap B).$ Більш загально для скінченної кількості множин $A_{i}\in {\mathcal {A}},\ i=1,\ldots ,n$ :

${\textstyle \sum _{i=1}^{n}\mu (A_{i})=\mu \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)+\mu \left(\bigcup _{i\neq j}A_{i}\cap A_{j}\right)+\mu \left(\bigcup _{i<j<k}A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}\right)+\ldots +\mu \left(\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}\right).}$

• Заряд $\mu$ є σ-адитивним тоді і тільки тоді коли для нього виконується умова неперервності знизу: для довільної неспадної послідовності $A_{i}\in {\mathcal {A}},\ i\geqslant 1$(тобто $A_{i}\subseteq A_{j}$ при $i<j$) для якої ${\textstyle A=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {A}}}$ виконується рівність: $\mu (A)=\lim _{i\to \infty }\mu (A_{n}).$
• Якщо $\mu$ є дійсним зарядом, то він є σ-адитивним тоді і тільки тоді коли виконується якась із двох еквівалентних умов:
  1. Для довільної незростаючої послідовності $A_{i}\in {\mathcal {A}},\ i\geqslant 1$(тобто $A_{i}\supseteq A_{j}$ при $i<j$) для якої ${\textstyle A=\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {A}}}$ виконується рівність: $\mu (A)=\lim _{i\to \infty }\mu (A_{n}).$
  2. Для довільної незростаючої послідовності $A_{i}\in {\mathcal {A}},\ i\geqslant 1$ для якої ${\textstyle \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}=\varnothing }$ виконується рівність $\lim _{i\to \infty }\mu (A_{n})=0.$

• Якщо $\mu$ і $\nu$ є зарядами, а $a,\ b$ — дійсними числами, то $a\cdot \mu +b\cdot \nu$ теж є зарядом. Тому на просторі всіх зарядів на $(X,{\mathcal {A}})$ можна ввести структуру дійсного векторного простору. Дійсні, обмежені, обмежені зверху чи знизу, σ-адитивні заряди утворюють векторні підпростори цього простору але множина додатних зарядів і множина мір не є векторними підпросторами. На множині зарядів на $(X,{\mathcal {A}})$ також можна ввести відношення часткового порядку вважаючи, що $\mu \leqslant \nu$ якщо $\mu (A)\leqslant \nu (A)$ для всіх $A\in {\mathcal {A}}$. Це відношення узгоджується із векторною структурою простору: якщо $\mu \leqslant \nu$ то $\mu +\rho \leqslant \nu +\rho$ і $a\cdot \mu \leqslant a\cdot \nu$ для будь-якого заряду $\rho$ і додатного числа a. Іншими словами заряди на $(X,{\mathcal {A}})$ утворюють впорядкований векторний простір. Це ж твердження є істинним і для його підпросторів.

Властивості обмежених зарядів

Нехай $\mathrm {ba} \;(X,\;{\mathcal {A}})$ позначає множину обмежених зарядів на $(X,{\mathcal {A}})$ і $\mathrm {ca} \;(X,\;{\mathcal {A}})$ — множину σ-адитивних обмежених зарядів на $(X,{\mathcal {A}})$. Також для $\mu ,\nu \in \mathrm {ba} \;(X,\;{\mathcal {A}})$ всюди нижче використовуються позначення

$(\mu \land \nu )(A)=\inf _{B\subset A}(\mu (B)+\nu (A\setminus B))$

$(\mu \lor \nu )(A)=\sup _{B\subset A}(\mu (B)+\nu (A\setminus B))$

$\mu ^{+}=\mu \lor 0,\ \mu ^{-}=-\mu \lor 0,\ |\mu |=\mu ^{+}+\mu ^{-}.$

$\mu ^{+},\ \mu ^{-},\ |\mu |$ називаються відповідно додатною, від'ємною і повною варіаціями заряду $\mu .$

• $\mu ^{+},\ \mu ^{-},\ |\mu |$ є додатними обмеженими зарядами для яких $\mu ^{+}\land \mu ^{-}=0$ і $\mu =\mu ^{+}-\mu ^{-}$ (розклад Жордана).
• Еквівалентно для додатної і від'ємної варіацій:

  $\mu ^{+}(A)=\sup _{B\subset A}(\mu (B))$

  $\mu ^{-}(A)=-\inf _{B\subset A}(\mu (B)).$

• Для повної варіації:

  $|\mu |(A)=\sup _{B\subset A}(\mu (B)-\mu (A\setminus B))=\sup \left(\sum _{i=1}^{n}|\mu (A_{i})|\right)$ де у останній рівності супремум береться по всіх розбиттях множини $A$ як диз'юнктного об'єднання скінченної кількості множин $A_{i}\in {\mathcal {A}}.$

• Функції $\mu \land \nu$ і $\mu \lor \nu$ є обмеженими зарядами і є відповідно інфімумом і супремумом для множини $\{\mu ,\nu \}$ у введеному вище відношенні часткового порядку. Таким чином $\mathrm {ba} \;(X,\;{\mathcal {A}})$ із введеними вище структурою векторного простору і відношенням часткового порядку є векторною ґраткою (простором Ріса). Ця ґратка є обмежено повною, тобто кожна обмежена зверху множина зарядів має супремум, а обмежена знизу — інфімум.
• На просторі $\mathrm {ba} \;(X,\;{\mathcal {A}})$ можна ввести норму: $\|\mu \|=|\mu |(X).$ Із цією нормою $\mathrm {ba} \;(X,\;{\mathcal {A}})$ є повним нормованим простором.
• Якщо $\mu ,\nu \in \mathrm {ca} \;(X,\;{\mathcal {A}})$ то також усі заряди $\mu ^{+},\ \mu ^{-},\ |\mu |$ і $\mu \land \nu$ з $\mu \lor \nu$ теж належать $\mathrm {ca} \;(X,\;{\mathcal {A}}).$ Таким чином $\mathrm {ca} \;(X,\;{\mathcal {A}})$ є векторною підґраткою $\mathrm {ba} \;(X,\;{\mathcal {A}}).$ Більше того ця підґратка є нормальною тобто, якщо деяка множина зарядів із $\mathrm {ca} \;(X,\;{\mathcal {A}})$ має супремум у $\mathrm {ba} \;(X,\;{\mathcal {A}}),$ то він також є елементом $\mathrm {ca} \;(X,\;{\mathcal {A}})$ і якщо для $\mu ,\nu \in \mathrm {ba} \;(X,\;{\mathcal {A}})$виконується нерівність $|\mu |\leqslant |\nu |$ і також $\nu \in \mathrm {ca} \;(X,\;{\mathcal {A}})$ то і $\mu \in \mathrm {ca} \;(X,\;{\mathcal {A}}).$ Окрім того $\mathrm {ca} \;(X,\;{\mathcal {A}})$ є замкнутим підпростором $\mathrm {ba} \;(X,\;{\mathcal {A}})$ згідно відповідної норми. Відповідно $\mathrm {ca} \;(X,\;{\mathcal {A}})$ теж є обмежено повною ґраткою і повним нормованим простором.

Теореми про розклад

Для довільних зарядів $\mu ,\nu$ які або одночасно не приймають значення $\infty$ або одночасно не приймають значення $-\infty$ можна аналогічно ввести $\mu \land \nu$ і $\mu \lor \nu$. Також для довільного заряду $\mu$ можна позначити $\mu ^{+}$ і $\mu ^{-}$ заряди одержані за означенням як $\mu ^{+}(A)=\sup _{B\subset A}(\mu (B))$ і $\mu ^{-}(A)=-\inf _{B\subset A}(\mu (B)).$ Тоді $\mu ^{+}$ і $\mu ^{-}$ є додатними зарядами.

Теорема про розклад Жордана у загальному випадку стверджує, що якщо $\mu$ не приймає значення $\infty$ то $\mu ^{+}-\mu =\mu ^{-},$ якщо $\mu$ не приймає значення $-\infty$ то $\mu ^{-}+\mu =\mu ^{+}$ і $\mu =\mu ^{-}+\mu ^{+}$ якщо і тільки якщо $\mu$ є обмеженим знизу або обмеженим зверху. Зокрема розклад Жордана $\mu =\mu ^{+}-\mu ^{-}$ існує для довільних обмежених зарядів і σ-адитивних зарядів на σ-алгебрі. В останньому випадку $\mu ^{+}$ і $\mu ^{-}$ будуть мірами.

Також розклад Жордана існує тоді і лише тоді, коли $\mu ^{+}\land \mu ^{-}=0$ і якщо $\mu =\mu _{1}-\mu _{2}$ і $\mu _{1}\land \mu _{2}=0$ для додатних зарядів $\mu _{1},\ \mu _{2}$ то $\mu _{1}=\mu ^{+},\ \mu _{2}=\mu ^{-}.$

Теорема Гана про розклад стверджує, що якщо $\mu$ є обмеженим знизу або обмеженим зверху то для довільного додатного числа $\varepsilon >0$ існує така множина $A\in {\mathcal {A}},$ що для довільних $B,C\in {\mathcal {A}},$ якщо $B\subset A$ то $\mu (B)<\varepsilon$ і якщо $C\subset X\setminus A$ то $\mu (C)>-\varepsilon .$

Якщо додатково $\mu$ є σ-адитивним зарядом на σ-алгебрі то існує така множина $A\in {\mathcal {A}},$ що для довільних $B,C\in {\mathcal {A}},$ якщо $B\subset A$ то $\mu (B)\leqslant 0$ і якщо $C\subset X\setminus A$ то $\mu (C)\geqslant 0.$ До того ж у цьому випадку якщо $A,A'\in {\mathcal {A}}$ є двома такими множинами то для симетричних різниць $A\triangle A'=0$ і $(X\setminus A)\triangle (X\setminus A')=0.$ Розклад Жордана у цьому випадку можна також отримати як $\mu ^{-}(B)=\mu (B\cap A)$ і $\mu ^{+}(B)=\mu (B\setminus A).$

Заряд $\nu$ на $(X,{\mathcal {A}})$ називається абсолютно неперервним щодо заряду $\mu$ на $(X,{\mathcal {A}})$, якщо для кожного $\varepsilon >0$ існує $\delta >0$, таке, що для кожної множини $A\in {\mathcal {A}}$, якщо $|\mu |(A)<\delta$ то $|\nu (A)|<\varepsilon .$ Із цієї властивості випливає властивість слабкої абсолютної неперервності: $\nu$ називається слабко абсолютно неперервним щодо $\mu$заряду $\mu$, якщо для кожної множини $A\in {\mathcal {A}}$, із того, що $|\mu |(A)=0$ випливає, що $\nu (A)=0.$ У випадку якщо $\mu$ є додатним зарядом, то ці два поняття є еквівалентними. Нехай $\mu ,\nu \in \mathrm {ba} \;(X,\;\Sigma )$. Тоді заряд $\nu$ єдиним чином можна подати у вигляді суми $\nu =\nu _{1}+\nu _{2}$, де $\nu _{1}$ є абсолютно неперервним щодо $\mu$ і $\nu _{2}$ є сингулярною із $\mu$. Такий розклад міри $\nu$ прийнято назвати розкладом Лебега.

Додатний заряд $\nu \in \mathrm {ba} \;(X,\;\Sigma )$ називається чисто скінченно адитивним, якщо для будь-якої додатної зліченно-адитивної міри $\mu$ з $0\leqslant \mu \leqslant \nu$ випливає, що $\mu =0$. Довільний заряд називається чисто скінченно адитивним, якщо такими є заряди $\nu ^{+}$ і $\nu ^{-}$.

Будь-який заряд $\nu \in \mathrm {ba} \;(X,\;\Sigma )$ єдиним чином записується у вигляді суми $\nu =\nu _{ca}+\nu _{pfa}$, де $\nu _{ca}$ — зліченно-адитивний заряд, а $\nu _{pfa}$ — чисто скінченно адитивний заряд. Такий розклад також називається розкладом Йосиди — Г'юїта.

Див. також

• Векторна міра
• Комплексна міра
• Міра множини
• Сигма-алгебра
• Теорема Гана про розклад

Література

• Bartle, Robert G. (1966), The Elements of Integration, New York: John Wiley and Sons, Zbl 0146.28201
• Bhaskara Rao, K. P. S.; Bhaskara Rao, M. (1983), Theory of Charges: A Study of Finitely Additive Measures, Pure and Applied Mathematics, № 109, London: Academic Press, ISBN 0-12-095780-9, Zbl 0516.28001, архів оригіналу за 28 січня 2022, процитовано 28 січня 2022
• Cohn, Donald L. (1997), Measure theory, Boston: Birkhäuser Verlag, ISBN 3-7643-3003-1, Zbl 0436.28001, архів оригіналу за 28 січня 2022, процитовано 28 січня 2022