Намисто Антуана

Перша ітерація

Друга ітерація

Намисто Антуана (антуанівська множина) — приклад підмножини евклідового простору, яка гомеоморфна канторовій множині, але при цьому має неоднозв'язне доповнення.

Побудував Луї Антуан 1921 року.

Побудова

Намисто будується як перетин спадної послідовності компактних множин:

$K_{1}\supset K_{2}\supset \dots$

такої, що кожне $K_{n}$ є об'єднанням скінченного числа неперетинних повноторів.

Якщо найбільший діаметр повнотора в $K_{n}$ прямує до нуля при $n\to \infty$, то перетин:

$K=\bigcap _{n}K_{n}$

є компактною цілком незв'язною множиною без ізольованих точок, а отже гомеоморфним канторовій множині.

З іншого боку, можна вибрати послідовність $K_{n}$ так, що доповнення до отриманого $K$ неоднозв'язне, для цього перетин $K_{n+1}$ з кожним повнотором у $K_{n}$ має утворювати замкнутий ланцюг, як на малюнку.

Див. також

• Дика сфера
• Дикий вузол
• Многовид Вайтгеда