Середнє степеневе

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
(Перенаправлено з Нерівності про середнє)
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Сере́днє сте́пеня p (середнє степеневе, узагальнене середнє) — узагальнення середнього арифметичного, середнього геометричного, середнього квадратичного, середнього гармонійного.

Означення

[ред. | ред. код]

Якщо  — дійсне число не рівне нулю, можна визначити середнє степеня для будь-яких додатних чисел як:

Через граничний перехід довизначаються такі величини:

Окремі випадки

[ред. | ред. код]
Геометричний зміст середніх значень для двох чисел.
Геометричний зміст середніх значень для двох чисел.

  — середнє гармонійне (HM),

  — середнє геометричне (GM),

  — середнє арифметичне (AM),

  — середнє квадратичне (RMS).

Нерівності

[ред. | ред. код]
  • Якщо , тоді , і рівність наступає тільки при .

Це випливає з того, що , що може бути доведено за допомогою нерівності Єнсена.

  • Окремим випадком попередньої нерівності є:

Див. також

[ред. | ред. код]

Джерела

[ред. | ред. код]