Квазі-арифметичне середнє

Квазі-арифметичне середнє (середнє за Колмогоровим) для дійсних чисел $x_{1},\ldots ,x_{n}\!$ визначається як

M_{f}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f^{-1}\left({\frac {f(x_{1})+\ldots +f(x_{n})}{n}}\right)

де $f\!$ — неперервна строго монотонна функція, а $f^{-1}\!$ — обернена функція до $f\!$ .

Часткові випадки

При $f(x)=x\!$ — отримуємо $M_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}$ — середнє арифметичне (AM),
При $f(x)=\log x\!$ — отримуємо $M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}$ — середнє геометричне (GM),
При $f(x)=x^{-1}\!$ — отримуємо $M_{-1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}$ — середнє гармонійне (HM),
При $f(x)=x^{2}\!$ — отримуємо $M_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}$ — середнє квадратичне (RMS),
При $f(x)=x^{p},\ p\neq 0$ — отримуємо $M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {x_{1}^{p}+\dots +x_{n}^{p}}{n}}\right)^{\frac {1}{p}}$ — середнє степеневе.

У 1930 році А. М. Колмогоров довів, що будь-яка середня величина має вигляд функції $M(x_{1}\ldots ,x_{n})$ , якщо володіє властивостями:

неперервна та монотонна по кожному $\ x_{i},i=1,\ldots ,n,$
симетрична (значення не змінюється при перестановці аргументів)
деяку групу значень можна замінити їх власним середнім, не міняючи спільного середнього.

Середні Колмогорова використовують в прикладній статистиці і економетриці.