Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Ознака Єрмакова — критерій збіжності числових рядів з додатніми членами, встановлений українським математиком Василем Єрмаковим.
Нехай функція
неперервна, додатня і монотонно спадна для
. Тоді, якщо для достатньо великих
(для
) виконується нерівність:
![{\displaystyle {\frac {f(e^{x})*e^{x}}{f(x)}}\leq q<1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e322b1056c659759cb901d5935a9f500c89c8c3b)
то ряд
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b796ca31d94532ff41472e341083c0d1d57a4803)
є збіжним, якщо ж (для
![{\displaystyle x\geq x_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06eb265a902eeabdb1149c4e0682a9a52ec3a4a1)
):
![{\displaystyle {\frac {f(e^{x})*e^{x}}{f(x)}}\geq 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a8a2c22a8e62628d038606ff51bf457d270bb6)
то ряд є розбіжним.
- Нехай виконується нерівність:
![{\displaystyle {\frac {e^{x}\cdot f(e^{x})}{f(x)}}\leqslant \lambda .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/344157e80c662cd535a45075c6eafc0123738320)
Домножимо обидві частини нерівності на
![{\displaystyle f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074)
і проінтегруємо використовуючи підстановку
![{\displaystyle \int \limits _{e^{x_{0}}}^{e^{x}}f(t)\,dt=\int \limits _{x_{0}}^{x}f(e^{u})\cdot e^{u}\,du\leqslant \lambda \int \limits _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f89065a2eef9f208faf4981d307b887ee47a2c)
звідси
![{\displaystyle (1-\lambda )\int \limits _{e^{x_{0}}}^{e^{x}}f(t)\,dt\leqslant \lambda \left(\int \limits _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt-\int \limits _{e^{x_{0}}}^{e^{x}}f(t)\,dt\right)\leqslant \lambda \left(\int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}f(t)\,dt-\int \limits _{x}^{e^{x}}f(t)\,dt\right)\leqslant \lambda \int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}f(t)\,dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bccd2d1e86f0d518c8ea5d91fc6b6ed09404865)
так як
![{\displaystyle e^{x}>x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04f4bf6b3090c6b8de790da31c890d9d1c624033)
, зменшуване в останніх дужках є додатнім. Тому розділивши нерівність на
![{\displaystyle \int \limits _{e^{x_{0}}}^{e^{x}}f(t)\,dt\leqslant {\frac {\lambda }{(1-\lambda )}}\int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}f(t)\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/626afabfb9c3f20bba13d37ad26d16f519feefe5)
Додамо до обох частин інтеграл
![{\textstyle \int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}\,f(t)dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9a9b2bdb625566f7bcebda34ec8cd810119e063)
отримаємо
Враховуючи, що
, при ![{\displaystyle x\geq x_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06eb265a902eeabdb1149c4e0682a9a52ec3a4a1)
![{\displaystyle \int \limits _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt\leqslant L.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be1f814601a7f88631a0ffca4fd5d9eb93e2f109)
Оскільки зі зростанням
інтеграл зростає, то існує для нього кінцева границя при
:
![{\displaystyle \int \limits _{x_{0}}^{\infty }f(t)\,dt\leqslant L.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aecee7a2a69f43df00ba45054059d7bb0a14d7d)
Так як цей інтеграл є збіжним, то згідно з інтегральною ознакою Коші — Маклорена ряд
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5332e4f29ade59f3553381d30583b4fcd790ae3f)
також збігається.
- Нехай тепер має місце нерівність:
![{\displaystyle {\frac {e^{x}\cdot f(e^{x})}{f(x)}}\geqslant 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8da11e5f9ce28cf10a39363bf758718294e744ee)
Домножимо обидві частини цієї нерівності
проінтегруємо, використовуємо в лівій частині підстановку:
, отримаємо:![{\displaystyle \int \limits _{e^{x_{0}}}^{e^{x}}f(t)\,dt\geqslant \int \limits _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e94c82d9696af1ffe89bd603a2d2af04294155de)
Додамо до обох частин інтеграл ![{\displaystyle \int \limits _{x}^{e^{x_{0}}}f(t)\,dt:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30f995fa64f214e3f502da2d734bee81883e2bee)
![{\displaystyle \int \limits _{x}^{e^{x}}f(t)\,dt\geqslant \int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}f(t)\,dt=\gamma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/203ed35b8549683642d37c698a587d38025fcf2d)
Оскільки
, то
. Визначимо послідовність
наступним чином:![{\displaystyle x_{i}=e^{x_{i-1}},\;\;i=0,\;1,\;\ldots ,\;n,\;\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06a56f41190007f560d792d625b4ab78a5c62d7e)
Використовуючи цю послідовність останню нерівність можна записати у вигляді:![{\displaystyle \int \limits _{x_{i-1}}^{x_{i}}f(t)\,dt\geqslant \gamma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38767829bea4e78d7728f7624c3dec376a18061c)
Сумуємо інтеграл за принципом ![{\displaystyle i=0,\;1,\;\ldots ,\;n:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ade9ea0c978be98d0fbff9118dcbc766e96cb060)
![{\displaystyle \int \limits _{x_{0}}^{x_{n}}f(t)\,dt=\sum _{i=1}^{n}\int \limits _{x_{i-1}}^{x_{i}}f(t)\,dt\geqslant n\gamma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15079d3ffac6a6ebe894c901b8c2c70ca28d6558)
тобто цей інтеграл необмежений при
. Тому:
![{\displaystyle \int \limits _{x_{0}}^{\infty }f(t)\,dt=\lim _{x\to \infty }\int \limits _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt=+\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1be9fa57948e66374358d2192bd48d48a2fe3fc6)
Оскільки цей інтеграл розбіжний, то згідно з інтегральною ознакою Коші — Маклорена ряд
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5332e4f29ade59f3553381d30583b4fcd790ae3f)
є розбіжним.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1970.
- .D. Polyanin, A.V. Manzhirov. Handbook of Mathematics for Engineers and Scientists. — 2006. — С. 340. — 1544 с. — ISBN 978-1420010510.