Інтегральна ознака Маклорена — Коші

Інтегральна ознака Коші — Маклорена — ознака збіжності спадного додатного числового ряду. Ознака дає можливість звести перевірку збіжності ряду до перевірки збіжності невласного інтеграла відповідної функції на $[1,\infty )$. Останній часто може бути знайдений в явному вигляді.

Формулювання теореми

Нехай для функції f(x) виконується: $\forall x:f(x)\geqslant 0$ (функція набуває невід'ємних значень) $\forall x_{1}\forall x_{2}:f(x_{1})>f(x_{2})\Leftrightarrow x_{1}<x_{2}$ (функція монотонно спадає) $\forall n\in \mathbb {N} :f(n)=a_{n}$ (відповідність функції члену ряду) Тоді ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ і невласний інтеграл $\int \limits _{1}^{\infty }\!f(x)\,dx$ збігаються або розбігаються одночасно.

Начерк доведення

Файл:Инт признак Коши.png

1. Побудуємо на графіку f (x) східчасті фігури як показано на малюнку
2. Площа більшої фігури дорівнює $S_{b}=f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n-1)$
3. Площа меншої фігури дорівнює $S_{s}=f(2)+f(3)+f(4)+...+f(n)$
4. Площа криволінійної трапеції під графіком функції дорівнює $S_{tr}=\int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx$
5. Отримуємо $S_{s}\leqslant S_{tr}\leqslant S_{b}\;\Rightarrow \;S_{n}-a_{1}\leqslant \int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx\leqslant S_{n-1}$
6. Далі доводиться за допомогою критерію збіжності знакододатних рядів .

Повне доведення

$\forall b>1$$f(x)$ монотонна на $[1,b]$

отже $\int \limits _{1}^{b}f(x)dx$ збігається

$\forall x\in [n,n+1]$ $f(n)\geqslant f(x)\geqslant f(n+1)$

$\forall n\in \mathbb {N}$ $\int \limits _{n}^{n+1}f(n)dx=f(n)\geqslant \int \limits _{n}^{n+1}f(x)dx\geqslant f(n+1)$

$S_{n}=f(1)+...+f(n)\geqslant \int \limits _{1}^{n+1}f(x)dx\geqslant S_{n+1}-f(1)$

$S_{n}$ нестрого монотонно зростає

Позначимо $F(x)=\int \limits _{1}^{x}f(t)dt$

границі $S_{n}$ і $F(x)$ — скінченні числа, отже $S_{n}$ і $F(x)$ обмежені (ідея)

Нехай збігається інтеграл $\int \limits _{1}^{\infty }f(x)dx$$\Rightarrow$$F(x)$ обмежена $\Rightarrow$$S_{n}$ обмежена $\Rightarrow$$\exists \lim \limits _{n\to \infty }S_{n}$

Нехай тепер збігається сума $S_{n}$$\Rightarrow$$\forall n$$\exists S\geqslant S_{n}$$\Rightarrow$$\forall n$$S\geqslant \int \limits _{1}^{n+1}f(x)dx\geqslant \int \limits _{1}^{b}f(x)dx$$\Rightarrow$$F(b)$ обмежена $\Rightarrow$$\exists \lim \limits _{b\to +\infty }\int \limits _{1}^{b}f(x)dx$, оскільки якщо функція $f(x)$ невід'ємна на деякому півінтервалі $[a,b)$, то для збіжності інтеграла $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$ необхідно і достатньо, щоб усі інтеграли $\int \limits _{a}^{c}f(x)dx$, де $c\in [a,b)$ були обмеженими. Теорему доведено.

Приклади

• $\sum {\frac {1}{n}}$ розбіжний, оскільки $\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}dx=\ln x|_{1}^{\infty }=\infty$ .
• $\sum {\frac {1}{n^{2}}}$ збіжний, оскільки $\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}dx=-\left.{\frac {1}{x}}\right|_{1}^{\infty }=1$ .

Оцінка залишку ряду

Інтегральна ознака Коші дозволяє оцінити залишок $r_{n}$ знакододатного ряду. З отриманого в доведенні виразу

$S_{n}-a_{1}\leqslant \int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx\leqslant S_{n-1}$

за допомогою нескладних перетворень отримуємо:

$\int \limits _{n+1}^{\infty }f(x)\,dx\leqslant r_{n}\leqslant \int \limits _{n}^{\infty }f(x)\,dx\leqslant a_{n}+\int \limits _{n+1}^{\infty }f(x)\,dx$ .

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)