Границя доданків ряду

Вибрані статті із
Числення
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Лагранжа Теорема Ролля Теорема про обернену функцію
Диференціальне Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Нотація Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Частка Степінь Складена функція Обернена функція Правило Лейбніца Формула Фаа ді Бруно
Інтегральне Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний Рімана Лебега Стілтьєса Даніелла) Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Рядів Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Границя доданків д'Аламбера Радикальна Інтегральна Пряме порівняння Порівняння границь Теорема Лейбніца Стиснення Коші Діріхле Абеля
Векторів Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Градієнтна Гріна Остроградського Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізоване Дробове Стохастичне Варіаційне
інше Історія Математичний аналіз Нестандартний аналіз

Границя доданків ряду — для ряду $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ можна побудувати послідовність $\{a_{k}\}$ із його доданків і пошукати її границю.

• Існування нульової границі цієї послідовності $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ є простою необхідною умовою збіжності ряду.
• Існування ненульової границі є ознакою (достатньою умовою) розбіжності ряду.

Доведення

Припустимо, що ряд збігається. За визначенням збіжності ряду послідовність $s_{k}=\sum _{i=1}^{k}a_{i}$, а отже, і послідовність $(s_{k+1})$ збігаються до деякої спільної скінченної границі $s$. Але $(a_{k+1})=\,(s_{k+1})-\,(s_{k})$ і з властивостей границі послідовності $(a_{k+1}){\xrightarrow {\,}}s-s=0$, тобто послідовність $(a_{k})$ збігається до нуля.

Зауваження

Дана ознака є тільки достатньою, але не необхідною умовою розбіжності, тобто з того, що $(a_{k})$ збігається до нуля не випливає збіжність ряду.

Так, гармонічний ряд $1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+...+{\frac {1}{n}}+...$ є розбіжним, хоча його доданки прямують до нуля.

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2100+ с.(укр.)