Оператор Фредгольма

Оператор Фредгольма або оператор Нетера — лінійний оператор між векторними просторами для якого ядро і коядро мають скінченні розмірності. Лінійний оператор між скінченновимірними просторами очевидно завжди є фредгольмовим. Тому інтерес становить випадок нескінченновимірних просторів. Найчастіше фредгольмові оператори розглядають для банахових просторів і гільбертових просторів і додатково вводиться умова обмеженості оператора.

Означення

Лінійний оператор $A\colon X\to Y$ між двома векторними просторами $X$ і $Y$ називають оператором Фредгольма, якщо

• Ядро $\ker A$ тобто множина $\{x\in X:Ax=0\}$ має скінченну розмірність
• Образ $\mathrm {ran} \,A$, тобто множина $\{Ax\mid x\in X\}\subseteq Y$ має скінченну корозмірність у $Y$. Іншими словами коядро $Y/\mathrm {ran} \,A$ є скінченновимірним.

Найчастіше оператори розглядають для гільбертових чи банахових просторів і тоді, як правило, додатково вводиться умова обмеженості оператора.

Множина операторів Фредгольма між просторами $X$ і $Y$ позначатиметься ${\mathcal {N}}(X,\;Y)$.

Число

$\mathrm {ind} (A)=\dim(\ker A)-\mathrm {codim} (\mathrm {ran} \,A,Y)\in \mathbb {Z}$

називається індексом Фредгольма оператора $A$. Для скінченновимірних просторів усі лінійні оператори є фредгольмовими і для всіх операторів між скінченновимірними просторами $X$ і $Y$:

$\mathrm {ind} (A)=\dim(X)-\dim(Y).$

Приклади

Оператори зсуву

Нехай $H$ є гільбертовим простором із ортонормальним базисом $\{e_{n}\}$ проіндексованим натуральними числами. Правий оператор зсуву на k позицій за означенням є:

$S_{k}(e_{n})=e_{n+k}.\,$

Він є ін'єктивним і має корозмірність $k$. Відповідно його індекс є рівним $-k$. Для лівого зсуву

$S_{k}^{*}(e_{i})={\begin{cases}e_{i-k},&i>k\\0,&i\leqslant k\end{cases}}$

ядро має розмірність k і оператор є сюр'єктивним, тобто індекс у цьому випадку є рівним $k$.

Інтегральний оператор

Класичним інтегральним оператором Фредгольма називають оператор

$A:=I+T$,

де $I$ є тотожним оператором, а $T$ є цілком неперервним.

Наприклад на просторі неперервних функцій $C([a,b])$, або, більш загально, просторі функцій що є інтегровними із квадратом $L^{2}([a,b])$ оператор $A$ задається як

$(A\phi )(x)=\phi (x)+\int _{a}^{b}k(x,y)\phi (y)\mathrm {d} y$,

де ядро інтегрування $k$ є неперервним або квадратно інтегровним. Цей оператор є оператором Фредгольма з індексом 0. У теорії інтегральних рівнянь Фредгольма вивчаються рівняння $A\phi (x)=f(x)$. Ключовим результатом теорії є альтернатива Фредгольма.

Тензорний добуток оператора Фредгольма і ізоморфізму

Якщо $A:H\to H$ є оператором Фредгольма над довільним комплексним векторним простором, а $S:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}$ є лінійним ізоморфізмом, то $\ker(A\otimes S)=\ker A\otimes \mathbb {C} ^{n},\$ $\mathrm {ran} (A\otimes S)=\mathrm {ran} A\otimes \mathbb {C} ^{n},\$ і також $\mathrm {coker} (A\otimes S)=\mathrm {coker} A\otimes \mathbb {C} ^{n}.\$

Тому $A\otimes S$ теж є оператором Фредгольма і $\mathrm {ind} (A\otimes S)=n\cdot \mathrm {ind} (A).$

Властивості

Всюди розглядається обмежений оператор Фредгольма між банаховими просторами.

• Образ (обмеженого) оператора Фредгольма між банаховими просторами є замкнутим підпростором.
• Якщо $A\colon X\to Y$ є оператором Фредгольма, то для скінченновимірного підпростору $\ker(A)$ існує замкнутий підпростір $W$ у $X$ для якого $X=\ker(A)\oplus W$. Обмеження ${\widetilde {A}}\colon W\to \operatorname {ran} (A)$ оператора $A$ на цей підпростір є бієктивним оператором для якого обернений оператор теж є обмеженим. Таким чином для $A$ існує неперервний обернений оператор за винятком підпросторів скінченної розмірності.
• Спряжений до оператора Фредгольма оператор теж є фредгольмовим: $A\in {\mathcal {N}}(X,\;Y)\Leftrightarrow A^{'}\in {\mathcal {N}}(Y^{'},\;X^{'})$ і для індексів цих операторів: $\mathrm {ind} \,A^{'}=-\mathrm {ind} \,A$
• Композиція $B\circ A$ фредгольмових операторів є оператором Фредгольма з індексом $\mathrm {ind} \,B\circ A=\mathrm {ind} \,A+\mathrm {ind} \,B$
• Для (обмеженого) оператора Фредгольма: $A\in {\mathcal {N}}(X,\;Y)\;$ і цілком неперервного оператора $S\in {\mathcal {K}}(X,\;Y)$ оператор $A+S$ теж є фредгольмовим і $\mathrm {ind} \,(A+S)=\mathrm {ind} \,A$
• Якщо на комутативній діаграмі із довільними векторними просторами і лінійними відображеннями між ними:

${\begin{array}{ccccccccc}0&\to &X&\xrightarrow {f} &Y&\xrightarrow {g} &Z&\to &0\\&&A\downarrow \quad &&B\downarrow \quad &&C\downarrow \quad &&\\0&\to &X'&\xrightarrow {f'} &Y'&\xrightarrow {g'} &Z'&\to &0\end{array}}$

обидва рядки є точними послідовностями і $A$ і $C$ є операторами Фредгольма, то і $B$ є оператором Фредгольма і $\mathrm {ind} \,B=\mathrm {ind} \,A+\mathrm {ind} \,C.$

• Із попереднього, якщо $K\in {\mathcal {K}}(X,\;Y)$ (тобто є цілком неперервним), а $S\in \mathrm {Inv} (X,\;Y)$ то $S+K$ є оператором Фредгольма індекс якого є рівним 0 (оскільки оборотний оператор є очевидно фредгольмовим із індексом 0). Навпаки, будь-який фредгольмів оператор індексу 0 є сумою оборотного і цілком неперервного операторів.
• Властивість Фредгольма і індекс також зберігаються при досить малих обмежених збуреннях, тобто $\forall A\in {\mathcal {N}}(X,\;Y)\;\exists \varepsilon :\,\forall S\in {\mathcal {B}}(X,\;Y),\|S\|\leqslant \varepsilon \Rightarrow A+S\in {\mathcal {N}}(X,\;Y),\;\mathrm {ind} \,(A+S)=\mathrm {ind} \,A$. Інакше кажучи, множина ${\mathcal {N}}(X,\;Y)$ є відкритою у множині ${\mathcal {B}}(X,\;Y)$ обмежених операторів. Індекс Фредгольма є константою на кожній компоненті зв'язності множини ${\mathcal {N}}(X,\;Y)$.
• Згідно теореми Аткінсона оператор $A\colon X\to Y$ є фредгольмовим, якщо і тільки якщо існують оператори $B_{1},B_{2}$ і цілком неперервні оператори $K_{1},K_{2}$ такі, що $AB_{1}=I_{Y}-K_{1}$ і $B_{2}A=I_{X}-K_{2}$.
• Якщо $A\colon X\to X$ є оператором Фредгольма, то існує $\varepsilon >0$, що для всіх $\lambda \in \mathbb {C}$ для яких $0<|\lambda |<\varepsilon$ виконуються нерівності:

1. $\dim \ker(A-\lambda I)\equiv \mathrm {const} \leq \dim \ker A$ und
2. $\mathrm {codim} \,\mathrm {ran} (A-\lambda I)\equiv \mathrm {const} \leq \mathrm {codim} \,\mathrm {ran} A$

Зокрема $A-\lambda I$ є оператором Фредгольма із індексом $\mathrm {ind} (A-\lambda I)=\mathrm {ind} (A)$.

Див. також

• Інтегральний оператор Фредгольма
• Теорія_Фредгольма
• Цілком неперервний оператор

Література

• D.E. Edmunds and W.D. Evans (1987), Spectral theory and differential operators, Oxford University Press. ISBN 0-19-853542-2.
• Murphy, Gerald J. (1990), C*–Algebras and Operator Theory, Academic Press, ISBN 978-0-08-092496-0