Альтернатива Фредгольма

Альтернатива Фредгольма — сукупність теорем Фредгольма про розв'язання інтегрального рівняння Фредгольма другого роду.

Наводяться різні формулювання альтернативи. У деяких джерелах під альтернативою Фредгольма розуміють лише першу теорему Фредгольма, яка стверджує, що або неоднорідне рівняння має розв'язок за будь-якого вільного члена, або спряжене (союзне) рівняння має нетривіальний розв'язок. Альтернатива Фредгольма для інтегральних рівнянь є узагальненням на нескінченновимірний випадок аналогічних теорем у скінченному просторі (для систем лінійних алгебричних рівнянь). Ф. Рісс узагальнив її на лінійні операторні рівняння з цілком неперервними операторами в банахових просторах.

Скінченновимірний простір

Або рівняння ${\mathcal {A}}z=u$ має розв'язок за будь-якої правої частини $u\in W$, або спряжене до нього рівняння ${\mathcal {A}}^{*}w=0$ має нетривіальний розв'язок.

Доведення

Спосіб 1

Нехай $r=\operatorname {rg} {\mathcal {A}},~m=\operatorname {dim} W$. Можливі два випадки: або $r=m$, або $r<m$. Умова $r=m$ рівносильна умові $\operatorname {im} {\mathcal {A}}=W$ що означає, що рівняння ${\mathcal {A}}z=u$ має розв'язок за будь-якого $u\in W$. При цьому оскільки $\operatorname {rg} {\mathcal {A}}=\operatorname {rg} {\mathcal {A}}^{*}$, то $\operatorname {ker} {\mathcal {A}}^{*}=0$, і отже, рівняння ${\mathcal {A}}^{*}w=0$ не має ненульового рішення. Умова $r<m$ рівносильна умові $\operatorname {dim} (\operatorname {ker} {\mathcal {A}}^{*})>0$ що означає існування ненульового вектора $w\in \operatorname {ker} {\mathcal {A}}^{*}$, тобто ненульового розв'язку ${\mathcal {A}}^{*}w=0$. При цьому $\operatorname {im} {\mathcal {A}}\neq W$ і рівняння ${\mathcal {A}}z=u$ має розв'язок не для будь-якого $u\in W$.

Спосіб 2

1. Нехай система (1), тобто $A\cdot X=B$, має розв'язок за будь-якого $B$. В цьому випадку $\operatorname {rg} A=m$, тому що інакше за деякого $B$ $\operatorname {rg} A$ виявився б меншим за ранг розширеної матриці і система (1) була б несумісною в силу теореми Кронекера — Капеллі. Оскільки $\operatorname {rg} A^{T}=\operatorname {rg} A$, то в цих умовах $\operatorname {rg} A^{T}=m$, тобто дорівнює числу невідомих у системі (2) і ця система має лише тривіальний розв'язок.
2. Нехай тепер система $A\cdot X=B$ за деякого $B$ несумісна. Отже $\operatorname {rg} A<m$, значить і $\operatorname {rg} A^{T}<m$, тобто ранг матриці системи (2) менший від числа невідомих і ця система має ненульовий розв'язок.

У доведенні використано позначення: $\operatorname {rg} A$ — ранг матриці $A$, $\operatorname {dim} W$ — розмірність простору $W$, $\operatorname {im} {\mathcal {A}}$ — образ оператора ${\mathcal {A}}$, $\operatorname {def} {\mathcal {A}}$ — дефект оператора ${\mathcal {A}}$, $\operatorname {ker} {\mathcal {A}}$ — ядро оператора ${\mathcal {A}}$, $A^{T}$ — транспонована матриця.

Альтернатива Фредгольма для лінійного оператора ${\mathcal {A}}$, що діє в одному просторі $V$, означає, що або основне рівняння має єдиний розв'язок за будь-якого $u\in V$, або спряжене до нього однорідне рівняння має нетривіальнИЙ розв'язок.

Інтегральні рівняння

Формулювання

Альтернативу Фредгольма формулюють для інтегрального рівняння Фредгольма

$\varphi (x)=\lambda \int \limits _{0}^{a}K(x,y)\varphi (y)\,dy+f(x)\qquad (1)$

з неперервним ядром $K(x,y)$ та союзного до нього рівняння

$\psi (x)={\bar {\lambda }}\int \limits _{0}^{a}K^{*}(x,y)\psi (y)\,dy+g(x),\qquad (1')$

$K^{*}(x,y)={\overline {K(y,x)}}$. Однорідне рівняння — це рівняння з нульовим вільним членом f або g.

Формулювання 1. Якщо інтегральне рівняння (1) з неперервним ядром можна розв'язати $C[0,a]$ за будь-якого вільного члена $f\in C[0,a]$, то і союзне до нього рівняння (1') можна розв'язати $C[0,a]$ за будь-якого вільного члена $g\in C[0,a]$, причому ці розв'язки єдині (перша теорема Фредгольма).

Якщо інтегральне рівняння (1) розв'язне в C[0, a] не за будь-якого вільного члена $f$, то:

1) однорідні рівняння (1) і (1') мають однакове (скінченне) число лінійно незалежних розв'язків (друга теорема Фредгольма);

2) для розв'язності рівняння (1) необхідно і достатньо, щоб вільний член $f$ був ортогональним до всіх розв'язків союзного однорідного рівняння (1') (третя теорема Фредгольма).

Формулювання 2. Якщо однорідне інтегральне рівняння Фредгольма має лише тривіальний розв'язок, то відповідне неоднорідне рівняння має один і лише один розв'язок. Якщо однорідне рівняння має деякий нетривіальний розв'язок, то неоднорідне інтегральне рівняння або зовсім не має розв'язку, або має нескінченну кількість розв'язків залежно від заданої функції $f(x)$.

Ідея доведення

Вироджене ядро

Інтегральне рівняння Фредгольма (1) з виродженим ядром вигляду

$K(x,y)=\sum _{i=1}^{N}f_{i}(x)g_{i}(y)$

можна переписати у вигляді

$\varphi (x)=\lambda \sum \limits _{i=1}^{N}c_{i}f_{i}(x)+f(x),$

де

$c_{i}=\int \limits _{0}^{a}\varphi (y)g_{i}(y)\,dy$

— невідомі числа. Помноживши отриману рівність на $g_{k}(x)$ та проінтегрувавши за відрізком $[0,a]$, рівняння з виродженим ядром зведемо до еквівалентної йому системи лінійних алгебричних рівнянь відносно невідомих $(c_{1},c_{2},\dots ,c_{N})$:

$c_{k}=\lambda \sum _{i=1}^{N}\alpha _{ki}c_{i}+a_{k},$

де

$\alpha _{ki}=\int \limits _{0}^{a}g_{k}(x)f_{i}(x)\,dx,\quad a_{k}=\int \limits _{0}^{a}g_{k}(x)f(x)\,dx.$

Тому альтернатива Фредгольма безпосередньо випливає зі скінченновимірного випадку.

Довільне неперервне ядро

У загальному випадку доведення альтернативи Фредгольма для інтегральних рівнянь ґрунтується на поданні довільного неперервного ядра як

$K(x,y)=P(x,y)+Q(x,y),$

де $P(x,y)$ — вироджене ядро (многочлен) і $Q(x,y)$ — мале неперервне ядро, $|Q(x,y)|<\varepsilon ,\,0\leq x\leq a$. Тоді рівняння (1) набуває вигляду

$\varphi =\lambda P\varphi +\lambda Q\varphi +f,$

де $P$ і $Q$ — інтегральні оператори з ядрами $P(x,y)$ і $Q(x,y)$ відповідно.

Введемо невідому функцію $\Phi (x)$ за формулою

$\Phi =\varphi -\lambda Q\varphi$.

При $|\lambda |<{\frac {1}{\varepsilon a}}$ функція $\varphi$ однозначно виражається через $\Phi$ за формулою

$\varphi =(I-\lambda Q)^{-1}\Phi =(I+\lambda R)\Phi ,$

де $I$ — одиничний оператор, $R$ — інтегральний оператор з ядром $R(x,y,\lambda )$ — резольвентою ядра $Q(x,y)$. Тоді початкове рівняння набуває вигляду

$\Phi =\lambda T\Phi +f,$

де

$T=P+\lambda PR$

- Інтегральний оператор із виродженим ядром

$T(x,y,\lambda )=P(x,y)+\lambda \int \limits _{0}^{a}P(x,\xi )R(\xi ,y,\lambda )d\xi ,$

аналітичним за $\lambda$ у крузі $|\lambda |<{\frac {1}{\varepsilon a}}$. Аналогічно союзне інтегральне рівняння (1') зводиться до вигляду

$\psi ={\bar {\lambda }}T^{*}\psi +g_{1}.$

Таким чином, рівняння (1) та (1') еквівалентні у крузі $|\lambda |<{\frac {1}{\varepsilon a}}$ рівнянням із виродженими ядрами, що дозволяє вивести альтернативу Фредгольма для загального випадку.

Наслідки

• Множина характеристичних чисел неперервного ядра не має скінченних граничних точок і, отже, лише зліченна. Справді, у кожному крузі $|\lambda |<{\frac {1}{\varepsilon a}}$ характеристичні числа ядра $K(x,y)$ збігаються з характеристичними числами виродженого ядра, які є нулями аналітичної функції.
• Кожне характеристичне число має скінченну кратність (число лінійно незалежних власних функцій), що випливає з другої теореми Фредгольма. Характеристичні числа можна пронумерувати в порядку зростання їх модулів:

$|\lambda _{1}|\leq |\lambda _{2}|\leq \dots ,$

повторюючи в цій послідовності $\lambda _{k}$ стільки разів, яка його кратність.

• Якщо $\lambda _{0}$ — характеристичне число ядра $K(x,y)$, то ${\bar {\lambda }}_{0}$ — характеристичне число ядра $K^{*}(x,y)$, причому вони мають однакову кратність.
• Власні функції $\varphi _{k}$ і $\psi _{i}$ ядер $K(x,y)$ і $K^{*}(x,y)$, що відповідають характеристичним числам $\lambda _{k}$ і ${\bar {\lambda }}_{i}$ відповідно, причому $\lambda _{k}\neq \lambda _{i}$, ортогональні: $(\varphi _{k},\psi _{i})=0$.

Використовуючи ці властивості, можна переформулювати альтернативу Фредгольма в термінах характеристичних чисел та власних функцій:

• Якщо $\lambda \neq \lambda _{k},\,k=1,2,\dots$, то інтегральні рівняння (1) і (1') однозначно розв'язні за будь-яких вільних членів.
• Якщо $\lambda =\lambda _{k}$, то однорідні рівняння

$\varphi =\lambda _{k}K\varphi ,\quad \psi ={\bar {\lambda }}_{k}K^{*}\psi ,$

мають однакове (скінченне) число $r_{k}\geq 1$ лінійно незалежних розв'язків — власних функцій $\varphi _{k},\varphi _{k+1},\dots ,\varphi _{k+r_{k}-1}$ ядра $K(x,y)$ та власних функцій $\psi _{k},\psi _{k+1},\dots ,\psi _{r_{k}-1}$ ядра $K^{*}(x,y)$.

• Якщо $\lambda =\lambda _{k}$, то для розв'язності рівняння (1) необхідно і достатньо, щоб

$(f,\psi _{k+i})=0,\quad i=0,1,r_{k}-1.$

Банахів простір

Дано рівняння

$Ax-x=y,\quad (2)$

$A^{*}f-f=g,\quad (2')$

де $A$ — цілком неперервний оператор, що діє в банаховому просторі $E$, а $A^{*}$ — спряжений оператор, що діє у спряженому просторі $E^{*}$. Тоді або рівняння (2) і (2') розв'язні за будь-яких правих частинах, і в цьому випадку однорідні рівняння

$Ax-x=0$

$A^{*}f-f=0$

мають лише нульові розв'язки, або однорідні рівняння мають однакову кількість лінійно незалежних розв'язків

$x_{1},x_{2},\dots ,x_{n};\quad f_{1},f_{2},\dots ,f_{n};$

у цьому випадку, щоб рівняння (2) (відповідно (2')) мало розв'язок, необхідно і достатньо, щоб

$f_{i}(y)=0,\quad i=1,2,\dots ,n$

(відповідно $g(x_{i})=0,\,i=1,2,\dots ,n$).

Застосування до розв'язання крайових задач для еліптичних рівнянь

Метод Неймана розв'язання задачі Діріхле

$\Delta u(x)=0,\quad x\in G,\quad u(s)=g(s),\quad s\in C$

полягає в тому, що розв'язок $u$ шукають у вигляді

$u(x)=\int \limits _{C}\mu (t){\frac {\partial }{\partial n_{t}}}\log {\frac {1}{r_{xt}}}dt,$

тобто у вигляді потенціалу подвійного шару. Тут $G$ — плоска ділянка, $C$ — замкнута крива, що обмежує її і має неперервну кривину, $r_{xt}$ — відстань від точки $x$ до точки $t$ на контурі $S$, $n_{t}$ — внутрішня нормаль до $C$ у точці $t$. Функція $\mu$ має задовольняти інтегральне рівняння

${\frac {1}{\pi }}g(s)=\mu (s)+\int \limits _{C}K(s,t)\mu (t)\,dt$

з неперервним ядром

$K(s,t)={\frac {1}{\pi }}{\frac {\partial }{\partial n_{t}}}\log {\frac {1}{r_{xt}}}dt.$

Згідно з альтернативою Фредгольма, або це неоднорідне рівняння має розв'язок $\mu (s)$ за будь-якого вибору неперервної функції $g(s)$, або однорідне рівняння

$\nu (s)+\int \limits _{C}K(s,t)\mu (t)\,dt=0$

допускає ненульовий розв'язок $\nu (s)$. Останнє неможливе, це можна показати за допомогою принципу максимуму для гармонічних функцій. Отже, внутрішня задача Діріхле має розв'язок за будь-яких неперервних граничних значень $g(s)$. Аналогічні результати отримано для зовнішньої задачі Діріхле, а також для задачі Неймана.

Див. також

• Інтегральне рівняння
• Теорія Фредгольма
• Цілком неперервний оператор
• Ядро інтегрального оператора

Література

Скінченновимірний простір

• Ильин В. А., Ким Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. — М. : Изд-во Моск. ун-та, 1998. — 320 с. — ISBN 5-211-03814-2.

Інтегральні рівняння

• Владимиров В. С., Жаринов В. В.. Уравнения математической физики: Учебник для вузов. — 2-е изд., стереотип. — М. : Физматлит, 2004. — 400 с. — ISBN 5-9221-0310-5.
• Трикоми Ф.. Интегральные уравнения. — М. : Издательство иностранной литературы, 1960.
• Краснов М. Л. Интегральные уравнения. (Введение в теорию). — М. : Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва «Наука», 1975.
• Петровский И. Г.. Лекции по теории интегральных уравнений. — М. : Наука, 1965. — 128 с.
• Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б.. Лекции по функциональному анализу. — М. : Мир, 1979. — 592 с.

Банахів простір

• Люстерник Л. А., Соболев В. И.. Элементы функционального анализа. — Изд. 2-е, переработанное. — М. : Наука, 1965. — 520 с.