Лінійне відображення

Лінійним відображенням (лінійним оператором, лінійним перетворенням) — називається відображення векторного простору $V$ над полем $K$ в векторний простір $W$ (над тим же полем $K$)

$f\colon \ V_{K}\to W_{K},$

що має властивість лінійності:

$f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)\qquad \forall x,y\in V_{K},\quad \forall \alpha ,\beta \in K.$

Лінійне відображення зберігає операції додавання векторів і множення вектора на скаляр:

$f(x+y)=f(x)+f(y)$     адитивність

$f(\alpha x)=\alpha f(x)$     однорідність

Лінійне відображення векторних просторів є їх гомоморфізмом. А у випадку бієктивності відображення то й ізоморфізмом.

Лінійне відображення — важливе поняття лінійної алгебри, завдяки якому вона отримала свою назву.

У функціональному аналізі розглядаються неперервні лінійні оператори між топологічними векторними просторами, але означення "неперервний" зазвичай випускається.

Лінійне відображення, лінійний оператор — узагальнення лінійної числової функції (точніше, функції $y=kx$) на випадок більш загальної множини аргументів і значень. Лінійні оператори, на відміну від нелінійних, достатньо добре досліджені, що дозволяє успішно застосовувати результати загальної теорії, оскільки їх властивості не залежать від природи величин.

Часткові випадки

• Лінійний функціонал — лінійний оператор, для якого $W_{K}=K\!$

$f:V_{K}\to K\!$

множина всіх лінійних функціоналів складає спряжений простір до $~V$, який теж є лінійним простором (позначається звичайно $~V^{*}$)

• лінійне перетворення — лінійний оператор, для якого $V_{K}=W_{K}\!$

$f:V_{K}\to V_{K}\!$

• Тотожний оператор — оператор $x\mapsto x$, що відображає кожен елемент простору $V_{K}\!$ в самого себе.
• Нульовий оператор — оператор, що переводить кожен елемент простору $V_{K}\!$ в нульовий елемент простору $W_{K}\,.$

Композиції лінійних відображень

• Якщо f:V→W і g:W→Z є лінійними відображеннями, то відображення g•f : V→Z також є лінійним.
• Якщо існує обернене відображення до лінійного відображення, то воно теж є лінійним.
• Якщо f₁:V→W і f₂:V→W є лінійними відображеннями, то відображення f₁+f₂ (визначене як (f₁+f₂)(x) = f₁(x) + f₂(x)) теж є лінійним.
• Якщо f:V→W є лінійним відображенням і a елемент з поля K (базового для V і W), тоді відображення af, визначене як (af)(x) = a (f(x)), також лінійне.

В скінченномірному випадку ці властивості подібні властивостям матриць: множення, додавання і множення на скаляр.

Ядро та образ відображення

• Ядром лінійного відображення $f:V\to W\!$ називається така підмножина $V\!$ що:

$\ker {(f)}=\{x\in V:f(x)=0\}$

Ядро лінійного відображення утворює лінійний підпростір в просторі $V.\!$

• Образом лінійного відображення $f:V\to W\!$ називається така підмножина $W\!$ що:

$\operatorname {im} (f)=\{w\in W:w=f(x),x\in V\}$

Образ лінійного відображення утворює лінійний підпростір в просторі $W.\!$

• Між розмірностями образу і ядра існує таке співвідношення:

$\dim(\ker {f})+\dim(\operatorname {im} {\,f})=\dim(V)$

Число $\dim(\operatorname {im} {\,f})$ називається ранг $f\!$ і записується як $\operatorname {rank} {(f)}$ чи $\operatorname {rk} {(f)}.$

Якщо розмірності $V\!$ і $W\!$ скінченні й вибрані базиси, то лінійне відображення задається своєю матрицею відносно до цих базисів.

І ранг відображення збігається з рангом матриці відображення.

Матриця лінійного відображення

Якщо в просторі $V\!$ вибрано базис $(e_{1},\ldots ,e_{n})\!$, в просторі $W\!$ вибрано базис $(f_{1},\ldots ,f_{m})\!$, то матрицею лінійного відображення в даних базисах називається матриця

$A={\begin{Vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\&\cdots &\\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{Vmatrix}}$

j-ий стовпчик якої складається з координат вектора $Ae_{j}\!$, тобто координат образу j-го базисного вектора

$Ae_{j}=(a_{1j}f_{1}+\ldots +a_{mj}f_{m})\!$   в базисі $(f_{1},\ldots ,f_{m}).\!$

Координати $(y_{1},\ldots ,y_{m})\!$ образу $Ax\!$ вектора $x\!$ в базисі $(f_{1},\ldots ,f_{m})\!$ при лінійному відображенні $A\!$
виражаються через координати $(x_{1},\ldots ,x_{n})\!$ вектора $x\!$ в базисі $(e_{1},\ldots ,e_{n})\!$ за формулою:

${\begin{Vmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{m}\end{Vmatrix}}=A{\begin{Vmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{Vmatrix}}$

Матриці лінійного відображення в різних базисах

Якщо A і Ã відповідно матриці лінійного відображення $f\!$ в базисах $(e_{1},\ldots ,e_{n});(f_{1},\ldots ,f_{m})\!$ і $(e_{1}',\ldots ,e_{n}');(f_{1}',\ldots ,f_{m}')\!$ то

${\tilde {A}}=T^{-1}AS$

де S і T — матриці переходу від базису $(e_{1},\ldots ,e_{n})\!$ до базису $(f_{1},\ldots ,f_{m})\!$ і від базису $(e_{1}',\ldots ,e_{n}')\!$ до базису $(f_{1}',\ldots ,f_{m}')\!$ відповідно:

$(e_{1}',\ldots ,e_{n}')=(e_{1},\ldots ,e_{n})S,\!$

$(f_{1}',\ldots ,f_{m}')=(f_{1},\ldots ,f_{m})T.\!$

При лінійному перетворенні (тобто, коли відображення в той же простір):

• для зміни базису використовується матриця переходу;
• матриці перетворення в різних базисах є подібними матрицями.

Див. також

• Перетворення (математика)
• Теорія операторів
• Спектр оператора
• Скалярний добуток
• Гільбертів простір
• Евклідів простір
• Базис

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — ISBN 5791300158.(рос.)