Плю́керові координа́ти — координати (набори чисел), що визначають підпростори
(довільної розмірності) векторного або проєктивного простору
. Є узагальненням однорідних координат точок проєктивного простору та також визначені з точністю до множення на довільний ненульовий множник. Уперше ввів Плюккер у окремому випадку проєктивних прямих у тривимірному проєктивному просторі, що для векторних просторів відповідає випадку
і
.
Нехай
—
-вимірний підпростір
-вимірного векторного простору
. Для визначення плюкерових координат підпростору
виберемо довільний базис
в
і довільний базис
в
. Кожен вектор
має в базисі
координати
, тобто
. Записуючи координати векторів
у вигляді рядків, отримаємо матрицю
![{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/680aa24300b787f12fa72aadec0bd502c4a46922)
ранг якої дорівнює
. Позначимо через
мінор матриці
, що складається зі стовпців з номерами
, які набувають значень від
до
. Числа
незалежні: якщо набір індексів
отримано з
за допомогою перестановки
, то виконується рівність
, де знак «плюс» або «мінус» відповідає тому, чи є перестановка
парною, чи непарною. Розглянута з точністю до множення на спільний ненульовий множник сукупність
чисел
для всіх упорядкованих наборів індексів
, що набувають значень від
до
, називають плюккеровими координатами підпростору
.
1. Незалежність від вибору базису.
Якщо в підпросторі
вибрано інший базис
, то новий набір плюккерових координат
матиме вигляд
, де
— деякий ненульовий множник. Справді, новий базис пов'язаний зі старими співвідношеннями
, і визначник матриці
відмінний від нуля. Відповідно до визначення плюккерових координат і теореми про визначник добутку матриць, маємо
, де
.
2. Грассманіан.
Ставлячи у відповідність кожному
-вимірному підпростору
набір його плюккерових координат
, ми зіставляємо
деяку точку проєктивного простору
розмірності
. Побудоване в такий спосіб відображення
ін'єктивне, але не сюр'єктивне (тобто його образ не збігається з усім простором
). Образ множини всіх
-вимірних підпросторів
-вимірного простору при відображенні
є
-вимірним проєктивним алгебричним многовидом
, що називається многовидом Грассмана або грассманіаном і позначається
або
.
3. Співвідношення Плюккера.
Критерієм, за яким можна визначити, чи належить точка проєктивного простору
грасманіану
є так звані співвідношення Плюккера:
![{\displaystyle \sum _{r=1}^{m+1}(-1)^{r}p_{j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1}k_{r}}\cdot p_{k_{1},\;\ldots ,\;{\breve {k_{r}}},\;\ldots ,\;k_{m+1}}=0,\quad \forall \,(j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1}),\quad \forall \,(k_{1},\;\ldots ,\;k_{m+1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fa15f0c55c87e75bf751fa18ef840ad629fb5fa)
де всі індекси в наборах
і
набувають значень від
до
, знак
позначає пропуск індексу, що стоїть під ним. Ця сума виходить, якщо із сукупності
викинути почергово по одному індексу і цей індекс приписати праворуч до набору
, потім два числа, що вийшли
перемножити (зауважимо, що ці числа є мінорами матриці
, але не обов'язково є плюккеровими координатами, оскільки набори їхніх індексів не обов'язково впорядковані за зростанням) і потім взяти суму всіх таких добутків зі знаками, що чергуються. Співвідношення Плюккера виконуються для кожного
-вимірного підпростору
. І навпаки, якщо однорідні координати
,
, деякої точки проєктивного простору
задовольняють цим співвідношенням, то ця точка при відображенні
відповідає деякому підпростору
, тобто належить
.
Мовою матриць це означає: якщо числа
задовольняють співвідношенням Плюккера, існує матриця, для якої вони є мінорами максимального порядку, а якщо ні, то не існує такої матриці. Це розв'язує задачу про можливість відновлення матриці за її мінорами максимального порядку з точністю до лінійного перетворення рядків.
У разі
і
маємо
, і отже, кожна площина
у 4-вимірному векторному просторі має
плюккерових координат:
,
,
,
,
,
. Вибираючи в площині
базис
так, що
і
, отримуємо матрицю
![{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0&\alpha &\beta \\0&1&\gamma &\delta \\\end{pmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36afdb19b7037664b5005feade08f546ba036887)
звідки знаходимо:
,
,
,
,
,
.
Очевидно, що виконується співвідношення
,
яке зберігається при множенні всіх
на будь-який спільний множник, тобто не залежить від вибору базису. Це і є співвідношення Плюккера, яке визначає проєктивну квадрику
у 5-вимірному проєктивному просторі.
- Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические проблемы. — М. : изд-во МГУ, 1962.
- Зеликин М. И.[ru]. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении. — М. : Факториал, 1998.
- Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. — М. : ИЛ, 1954. — Т. 1. (Тут плюккерові координати названо грассмановими).
- Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М. : Физматлит, 2009.
- Casas-Alvero E.[en]. Analytic Projective Geometry. — European Mathematical Society, 2014.