Порядок елемента

Алгебрична структура → Теорія груп Теорія груп
Основні поняття Підгрупа Нормальна підгрупа Комутант Фактор-група Гомоморфізм груп (Напів-)прямий добуток Пряма сума
Алгебричні властивості Комутативна група Циклічна група Впорядкована група Група перетворень Розв'язна група
Скінченні групи Класифікація простих скінченних груп Скінченна циклічна група Cp Скінченна p-група Теорема Лагранжа Теореми Силова Симетрична група Sn Діедрична група Dn Знакозмінна група An 4-група Кляйна PSL(2,7) Групи Матьє M11 M12 M22 M23 M24 Групи Конвея Co1 Co2 Co3 Групи Янко J1 J2 J3 J4 Групи Фішера F22 F23 F24 Група чорної скриньки Монстр (М)
Топологічні групи Група Лі Загальна лінійна група GL(n) Спеціальна лінійна група SL(n) Ортогональна група O(n) Спеціальна ортогональна група SO(n) Унітарна група U(n) Спеціальна унітарна група SU(n) Симплектична група Sp(n) Прості Групи Лі G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ U(1) Група Лоренца Група Пуанкаре Група кватерніона

Порядок елемента в теорії груп — найменше додатне ціле $m$, таке що $m$-разове групове множення даного елемента $g\in G$ на себе дає нейтральний елемент:

$\underbrace {gg\dots g} _{m}=g^{m}=e$.

Іншими словами, $m$ — кількість різних елементів циклічної підгрупи, породженої даним елементом. Якщо такого $m$ не існує (або, еквівалентно, число елементів циклічної підгрупи нескінченне), то кажуть, що $g$ має нескінечний порядок. Позначається як $\mathrm {ord} (g)$ або $|g|$.

Вивчення порядків елементів групи може дати інформацію про її структуру. Декілька глибоких питань щодо зв'язку порядку елементів і порядку групи містяться в різних задачах Бернсайда, деякі з них залишаються відкритими.

Основні властивості

Порядок елемента дорівнює одиниці тоді й лише тоді, коли елемент є нейтральним.

Якщо будь-який не нейтральний елемент у $G$ збігається зі своїм оберненим (тобто $g^{2}=e$), то $\mathrm {ord} (a)=2$ і $G$ є абелевою групою, оскільки $ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba$. Обернене твердження в загальному випадку хибне: наприклад, (адитивна) циклічна група $\mathbb {Z} _{6}$ цілих чисел за модулем 6 — абелева, але число 2 має порядок 3:

$2+2+2=6\equiv 0{\pmod {6}}$.

Для будь-якого цілого $k$ тотожність $g^{k}=e$ виконана тоді й лише тоді, коли $\mathrm {ord} (g)$ ділить $k$.

Усі степені елемента нескінченного порядку мають нескінченний порядок. Якщо $g$ має скінченний порядок, то порядок $g^{k}$ дорівнює порядку $g$, поділеному на найбільший спільний дільник чисел $\mathrm {ord} (g)$ і $k$. Порядок оберненого елемента збігається з порядком елемента ($\mathrm {ord} (g)=\mathrm {ord} (g^{-1})$).

Зв'язок із порядком групи

Порядок будь-якого елемента групи ділить порядок групи. Наприклад, у симетричній групі $S_{3}$, що складається з шести елементів, нейтральний елемент $e$ має (за визначенням) порядок 1, три елементи, що є коренями з $e$ — порядок 2, а порядок 3 мають два елементи, що залишилися, які є коренями елементів порядку 2: тобто, всі порядки елементів є дільниками порядку групи.

Частково обернене твердження правильне для скінченних груп (теоретико-групова теорема Коші): якщо просте число $p$ ділить порядок групи $G$, то існує елемент $g\in G$, для якого $\mathrm {ord} (g)=p$. Твердження не виконується для складених порядків, так що 4-група Кляйна не містить елемента порядку чотири.

Порядок добутку

У будь-якій групі $\mathrm {ord} (ab)=\mathrm {ord} (ba)$.

Немає загальної формули, що пов'язує порядок добутку $ab$ з порядками співмножників $a$ і $b$. Можливий випадок, коли і $a$, і $b$ мають скінченні порядки, а порядок добутку $ab$ нескінченний, також можливо, що і $a$, і $b$ мають нескінченний порядок, тоді як $\mathrm {ord} (ab)$ — скінченний. Приклад першого випадку: в симетричній групі над цілими числами перестановки, що задаються формулами $a(x)=2-x,b(x)=1-x$ тоді $ab(x)=x-1$. Приклад другого випадку: перестановки в тій самій групі $a(x)=x+1,b(x)=x-1$, добуток яких є нейтральним елементом (перестановка $ab(x)=\mathrm {id}$, що залишає елементи на своїх місцях). Якщо $ab=ba$ то можна стверджувати, що $\mathrm {ord} (ab)$ ділить найменше спільне кратне чисел $\mathrm {ord} (a)$ і $\mathrm {ord} (b)$. Як наслідок, у скінченій абелевій групі порядок будь-якого елемента ділить максимальний порядок елементів групи.

Підрахунок за порядком елементів

Для даної скінченної групи $G$ порядку $n$, кількість елементів із порядком $d$ ($d$ — дільник $n$) кратна $\varphi (d)$, де $\varphi$ — функція Ейлера, що дає число додатних чисел, які не перевищують $d$ та взаємно прості з ним. Наприклад, у випадку $S_{3}$$\varphi (3)=2$, і є рівно два елементи порядку 3; при цьому дане твердження не дає жодної корисної інформації щодо елементів порядку 2, оскільки $\varphi (2)=1$, і дуже обмежену інформацію про складені числа, такі як $d=6$, оскільки $\varphi (6)=2$, і в групі $S_{3}$ є нуль елементів порядку 6.

Зв'язок із гомоморфізмами

Гомоморфізми груп мають властивість знижувати порядок елементів. Якщо $f:G\to H$ є гомоморфізмом, та $g\in G$ — елемент скінченного порядку, то $\mathrm {ord} (f(g))$ ділить $\mathrm {ord} (g)$. Якщо $f$ ін'єктивне, то $\mathrm {ord} (f(g))=\mathrm {ord} (g)$. Цей факт можна використати для доведення відсутності (ін'єктивного) гомоморфізму між двома заданими групами. (Наприклад, немає нетривіального гомоморфізму $h:S_{3}\to \mathbb {Z} _{5}$, оскільки будь-яке число, за винятком нуля, в $\mathbb {Z} _{5}$ має порядок 5, а 5 не ділить жодного з порядків 1, 2 та 3 елементів $S_{3}$.) Іншим наслідком є твердження, що спряжені елементи мають однаковий порядок.

Література

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

• Курош А.Г. Теория групп. — Москва : Наука, 1967. — ISBN 5-8114-0616-9.
• Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А. Глава II. Группы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М. : Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — (Справочная математическая библиотека) — 30000 прим. — ISBN ISBN 5-02-014426-6.