PSL(2,7)

У математиці проєктивна спеціальна лінійна група PSL(2,7) (ізоморфна GL(3,2)) — скінченна проста група, що має важливі застосування в алгебрі, геометрії та теорії чисел. Вона є групою автоморфізмів квартики Кляйна, а також групою симетрії площини Фано. Маючи 168 елементів, PSL(2,7) є другою за величиною з найменших неабелевих простих груп (першою є знакозмінна група A₅, яка має 60 елементів — група обертань ікосаедричної симетрії).

Визначення

Повна лінійна група GL(2,7) складається з усіх оборотних 2×2-матриць над F₇, скінченним полем із семи елементів, тобто таких, що мають ненульові визначники. Підгрупа SL(2,7) складається з усіх матриць з одиничним визначником. Таким чином, PSL(2,7) — фактор-група: SL(2,7)/{I, −I},

отримана ототожненням I та -I, де I — одинична матриця. У цій статті ми маємо на увазі під G будь-яку групу, ізоморфну PSL(2,7).

Властивості

G = PSL(2,7) має 168 елементів. Це можна побачити, полічивши можливі стовпці. Є 7² − 1 = 48 можливих перших стовпців, 7² − 7 = 42 можливих других стовпців. Щоб досягти рівності визначника одиниці, слід поділити на 7 − 1 = 6, а потім поділити на 2, щоб ототожнити I та −I. Результат дорівнює (48×42)/(6×2) = 168.

Загальновідомо, що PSL(n,q) є простою для n, q ≥ 2 (де q — певний степінь простого числа), якщо не (n,q) = (2,2) або (2,3). PSL(2,2) ізоморфна симетричній групі S₃ і PSL(2,3) ізоморфна знакозмінній групі A₄. Фактично, PSL(2,7) є другою за величиною з неабелевих простих груп після знакозмінної групи A₅ = PSL(2,5) = PSL(2,4).

Число класів спряженості та кількість незвідних представлень дорівнює 6. Число класів дорівнює 1, 21, 42, 56, 24, 24. Розмірності незвідних подань дорівнюють 1, 3, 3, 6, 7, 8.

Таблиця характерів

${\begin{array}{r|cccccc}&1A_{1}&2A_{21}&4A_{42}&3A_{56}&7A_{24}&7B_{24}\\\hline \chi _{1}&1&1&1&1&1&1\\\chi _{2}&3&-1&1&0&\sigma &{\bar {\sigma }}\\\chi _{3}&3&-1&1&0&{\bar {\sigma }}&\sigma \\\chi _{4}&6&2&0&0&-1&-1\\\chi _{5}&7&-1&-1&1&0&0\\\chi _{6}&8&0&0&-1&1&1\\\end{array}},$

де:

$\sigma ={\frac {-1+i{\sqrt {7}}}{2}}.$

Нижче в таблиці описано класи спряженості в термінах порядку елементів у класах, числа класів, мінімальний многочлен усіх представлень у GL(3,2) та запис функції для представлення в PSL(2,7).

Порядок	Розмір	Мінімальний многочлен	Функція
1	1	x+1	x
2	21	x2+1	−1/x
3	56	x3+1	2x
4	42	x3+x2+x+1	1/(3−x)
7	24	x3+x+1	x+1
7	24	x3+x2+1	x+3

Порядок групи дорівнює 168 = 3·7·8, звідки випливає існування підгруп Силова порядків 3, 7 і 8. Легко описати перші дві — вони циклічні, оскільки будь-яка група з простим порядком циклічна. Будь-який елемент класу спряженості 3A₅₆ утворює силовську 3-підгрупу. Будь-який елемент класів спряженості 7A₂₄, 7B₂₄ утворює силовську 7-підгрупу. Силовська 2-підгрупа є діедральною групою порядку 8. Її можна описати як централізатор будь-якого елемента класу спряженості 2A₂₁. У поданні GL(3,2) силовська 2-підгрупа складається з верхніх трикутних матриць.

Ця група та її силовська 2-підгрупа дають контрприклад для різних теорем про нормальне p-доповнення для p = 2.

Дії на проєктивні простори

G=PSL(2,7) діє за допомогою дробово-лінійного перетворення на проєктивну пряму P¹(7) над полем зі 7 елементів: Для $\gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\mbox{PSL(2, 7)}}$ і $x\in \mathbf {P} ^{1}(7),\ \gamma \cdot x={\frac {ax+b}{cx+d}}$

Кожен автоморфізм прямої P¹(7), що зберігає орієнтацію, виходить таким способом, а тоді, G=PSL(2,7) можна розуміти геометрично як групу симетрій проєктивної прямої P¹(7). Повна група можливих автоморфізмів, що зберігають орієнтацію, є розширенням порядку 2 групи PGL(2,7) і група колінеацій проєктивної прямої є повною симетричною групою точок.

Однак PSL(2, 7) також ізоморфна групі PSL(3,2) (= SL(3,2) = GL(3,2)), спеціальній (загальній) лінійній групі 3×3 матриць над полем із 2 елементами. Подібно G = PSL(3,2) діє на проєктивну площину P²(2) над полем з 2 елементами, відому також як площина Фано: Для $\gamma ={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}\in {\mbox{PSL}}(3,2)$ і $\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbf {P} ^{2}(2),\ \gamma \ \cdot \ \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}ax+by+cz\\dx+ey+fz\\gx+hy+iz\end{pmatrix}}$

Знову в такий спосіб виходить будь-який автоморфізм P²(2), тоді G = PSL(3,2) можна геометрично розуміти як групу симетрії цієї проєктивної площини. Площину Фано можна описати як добуток октоніонів.

Симетрії квартики Кляйна

Квартику Кляйна можна реалізувати як фактор-простір семикутної мозаїки порядку 3

Квартику Кляйна можна також реалізувати як фактор-простір семикутної мозаїки порядку 3

Квартика Кляйна — проєктивний многовид над комплексними числами C, визначений многочленом четвертого степеня

x³y + y³z + z³x = 0.

Він є компактною рімановою поверхнею роду g = 3 і є єдиною такою поверхнею, для якої розмір конформної групи автоморфізмів досягає максимуму 84(g−1). Ця межа виникає внаслідок теореми Гурвіца про автоморфізми, яка виконується для всіх g>1. Такі «поверхні Гурвіца» рідкісні. Наступний рід, для якого така поверхня існує, це g=7, а наступний після нього — g=14.

Як і для всіх поверхонь Гурвіца, квартикам Кляйна можна задати метрику сталої від'ємної кривини і потім замостити правильними (гіперболічними) семикутниками, як фактор-простір семикутної мозаїки порядку 3. Для квартики Кляйна це дає мозаїку з 24 семикутників. Двоїсто, її можна замостити 56 рівносторонніми трикутниками з 24 вершинами, кожна 7-го порядку, як фактор-простір трикутної мозаїки порядку 7.

Квартика Кляйна виникає в багатьох галузях математики, таких як теорія представлень, теорія гомологій, множення октоніонів, велика теорема Ферма.

Група Матьє

PSL(2,7) є максимальною підгрупою групи Матьє M₂₁. Групи Матьє M₂₁ і M₂₄ можна побудувати як розширення PSL(2,7). Ці розширення можна інтерпретувати в термінах мозаїк квартики Кляйна, але не можна реалізувати геометричними симетріями мозаїк.

Дії групи

PSL(2, 7) діє на різні множини:

• Якщо інтерпретувати її як лінійні автоморфізми проєктивної прямої над F₇, вона діє 2-транзитивно на множину з 8 точок зі стабілізатором порядку 3. (PGL(2,7) діє строго 3-транзитивно з тривіальним стабілізатором.)
• Якщо інтерпретувати її як автоморфізми мозаїки квартики Кляйна, вона діє транзитивно на 24 вершини (або, двоїсто, на 24 семикутники) зі стабілізатором порядку 7 (що відповідає обертанню навколо вершини/семикутника).
• Якщо інтерпретувати її як підгрупу групи Матьє M₂₁, що діє 21 точку, вона діє транзитивно на 21 точку.

Література

• David A. Richter. How to Make the Mathieu Group M₂₄.

• Ezra Brown, Nicholas Loehr. Why is PSL (2,7)≅ GL (3,2)? // Am. Math. Mon.. — 2009. — Т. 116, вип. 8. — С. 727–732. — DOI:10.4169/193009709X460859.

Посилання

• The Eightfold Way: the Beauty of Klein's Quartic Curve (Silvio Levy, ed.)
• This Week's Finds in Mathematical Physics — Week 214 (John Baez)
• The Klein Quartic in Number Theory (Noam Elkies)
• Projective special linear group: PSL(3,2)