Сингулярне значення

У математиці, зокрема в функціональному аналізі, сингулярне значення або сингулярне число (с-число) компактного оператора T : X → Y, що діє між Гільбертовими просторами X і Y, це квадратні корені додатних власних значень самоспряженого оператора T^*T  (де T^* позначає спряжений оператору T).

Сингулярні значення це невід'ємні дійсні числа, зазвичай перелічувані у спадному порядку (s₁(T), s₂(T), …). Найбільше сингулярне значення s₁(T) рівне нормі оператора T (див. Теорема Куранта — Фішера).

Візуалізація SVD двовимірної, дійсної матриці зсуву M. Спершу, ми бачимо блакитний одиничний диск з двома векторами стандартного базису. Потім ми бачимо дію M, яка перетворює диск на еліпс. SVD розкладає M на три простих перетворення: початковий поворот V^*, масштабування Σ уздовж осі координат і кінцевий поворот U. Σ це діагональна матриця, діагональ якої складається із сингулярних значень матриці M, які представляють довжини σ₁ і σ₂ півосей еліпса.

У разі, якщо T діє на евклідовому просторі Rⁿ, існує просте геометричне тлумачення сингулярних значень: Розгляньмо область значень T, якщо її область визначення це одинична сфера; це буде еліпсоїд, а довжини його півосей це сингулярні значення T (на рисунку наведено приклад в R²).

Сингулярні значення це абсолютні значення власних значень нормальної матриці A, бо можна використати спектральну теорему, щоб отримати унітарну діагоналізацію A як A = UΛU^*. Отже, ${\sqrt {A^{*}A}}={\sqrt {U\Lambda ^{2}U^{*}}}=U\ |\Lambda |\ U^{*}$.

Більшість норм операторів на Гільбертових просторах, що ми їх вивчаємо, означені за допомогою с-чисел. Наприклад, k-норма це сума перших k сингулярних значень, слідова норма це сума всіх сингулярних значень, також існує норма обчислювана як p-й корінь суми p-х степенів сингулярних значень. Зауважте, що кожна норма має місце лише на певному класі операторів, тому с-числа корисні для класифікації операторів.

У скінченновимірному випадку, матрицю завжди можна розкласти у вигляді UΣV^*, де U і V^* унітарні, а Σ це діагональна матриця із сингулярними значеннями на діагоналі. Це сингулярний розклад матриці.

Базові властивості

Для $A\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ і $i=1,2,\ldots ,\min\{m,n\}$.

Теорема Куранта — Фишера для сингулярних значень. Тут $U:\dim(U)=i$ це підпростір $\mathbb {C} ^{n}$ вимірності $i$.

${\begin{aligned}\sigma _{i}(A)&=\min _{\dim(U)=n-i+1}\max _{\underset {\|x\|_{2}=1}{x\in U}}\left\|Ax\right\|_{2}.\\\sigma _{i}(A)&=\max _{\dim(U)=i}\min _{\underset {\|x\|_{2}=1}{x\in U}}\left\|Ax\right\|_{2}.\end{aligned}}$

Траспонування матриці як і спряження не змінюють сингулярних значень.

$\sigma _{i}(A)=\sigma _{i}\left(A^{\textsf {T}}\right)=\sigma _{i}\left(A^{*}\right)=\sigma _{i}\left({\bar {A}}\right).$

Для будь-яких унітарних $U\in \mathbb {C} ^{m\times m},V\in \mathbb {C} ^{n\times n}.$

$\sigma _{i}(A)=\sigma _{i}(UAV).$

Зв'язок з власними значеннями:

$\sigma _{i}^{2}(A)=\lambda _{i}\left(AA^{*}\right)=\lambda _{i}\left(A^{*}A\right).$

Див. також

• Число обумовленості
• Сингулярний розклад матриці