Теорема Куранта — Фішера

Теорема Куранта — Фішера — теорема про властивість ермітового оператора в гільбертовому просторі функцій. Також називається теоремою про мінімакс^[1].

Формулювання

\lambda _{k}=\inf \limits _{L_{k}}\sup \limits _{x\in L_{k}\cap S}{\frac {(Ax,x)}{(x,x)}}

A

— лінійний самоспряжений оператор, що діє в скінченновимірному комплексному або дійсному просторі,

S

— одинична сфера,

e=e_{1}\dots e_{n}

— ортонормований базис простору

V

, що складається з власних векторів оператора

A

,

\lambda _{k}

—

k

-е власне значення оператора

A

і

\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \dots \leq \lambda _{n}

L_{k}

—

k

-вимірний підпростір

V

.

Доведення

$p=n-k+1$ , $L_{k}$ — $k$ -вимірний підпростір $V$ , $W_{n-k+1}$ — лінійна оболонка векторів $e_{k}\dots e_{n}$ . $\dim L_{k}+\dim W_{n-k+1}=n+1$ . Звідки випливає, що $L_{k}\cap W_{n-k+1}\neq {\varnothing }$ . Нехай $x_{0}\in L_{k}\cap W_{n-k+1}$ і $\ \|x_{0}\|=1$ . Оскільки $\lambda _{k}=\sup \limits _{x\in L_{k}\cap S}(Ax,x),$ то ${\frac {(Ax_{0},x_{0})}{(x_{0},x_{0})}}\leq \lambda _{k}$ . З іншого боку: так як $x_{0}\in L_{k}$ то