Спліт-октоніон

$1$	$i$	$j$	$k$	$\ell$	$\ell i$	$\ell j$	$\ell k$
$i$	$-1$	$k$	$-j$	$-\ell i$	$\ell$	$-\ell k$	$\ell j$
$j$	$-k$	$-1$	$i$	$-\ell j$	$\ell k$	$\ell$	$-\ell i$
$k$	$j$	$-i$	$-1$	$-\ell k$	$-\ell j$	$\ell i$	$\ell$
$\ell$	$\ell i$	$\ell j$	$\ell k$	$1$	$i$	$j$	$k$
$\ell i$	$-\ell$	$-\ell k$	$\ell j$	$-i$	$1$	$k$	$-j$
$\ell j$	$\ell k$	$-\ell$	$-\ell i$	$-j$	$-k$	$1$	$i$
$\ell k$	$-\ell j$	$\ell i$	$-\ell$	$-k$	$j$	$-i$	$1$

Спліт-октоніон — восьмивимірне гіперкомплексне число утворене процедурою Келі — Діксона подвоєнням кватерніонів чи спліт-кватерніонів.

Процедура Келі — Діксона

Октоніони та спліт-октоніони утворюються процедурою Келі — Діксона подвоєнням кватерніонів. Щоб визначити множення введем нову уявну одиницю ℓ і запишемо пару кватерніонів (a, b) у вигляді a + ℓb. Добуток визначимо як:

$(a+\ell b)(c+\ell d)=(ac+\lambda {\bar {d}}b)+\ell (da+b{\bar {c}}),\qquad \qquad \lambda =\ell ^{2}.$

Якщо λ визначим як −1, то отримаємо октоніони. А якщо як +1, то отримаємо спліт-октоніони. Також можна отримати спліт-октоніони процедурою Келі — Діксона подвоєнням спліт-кватерніонів.

Таблиця множення

Базисом спліт-октоніонів є множина $\{\ 1,\ i,\ j,\ k,\ \ell ,\ \ell i,\ \ell j,\ \ell k\ \}$.

Множення повністю визначається наступною таблицею:

Властивості

Як і в октоніонів, множення спліт-кватерніонів не є асоціативними, але є альтернативним та степенево-асоціативним.

Джерела

• Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — Москва : Наука, 1973. — 144 с.(рос.)