Теорема Гірсанова

Візуалізація теореми Гірсанова — в лівій частині зображено процес Вінера з від'ємним дріфтом за канонічною мірою $P$; в правій частині кожен шлях процесу забарвлений відповідно до його ймовірності за мартингальною мірою $Q$. Перетворення щільності з $P$ на $Q$ задається теоремою Гірсанова.

У теорії ймовірностей теорема Гірсанова (названа на честь Ігоря Володимировича Гірсанова ) описує, як змінюється динаміка стохастичних процесів при зміні вихідної міри на еквівалентну ймовірнісну міру. ^:607Теорема особливо важлива в теорії фінансової математики, оскільки вона демонструє як перетворити міру, яка описує ймовірність того, що базовий інструмент (такий як ціна акції або відсоткова ставка ) прийме певне значення або значення нейтральної за ризиком міри, яка є дуже корисним інструментом для визначення цін на похідні фінансові інструменти.

Історія

Перші результати були доведені Камероном—Мартіном у 1940-х роках та Гірсановим у 1960 році . Згодом вони були поширені на більш загальні класи процесів, що завершилися загальною формою Ленгларта (1977).

Значущість

Теорема Гірсанова грає важливу роль в загальній теорії випадкових процесів, так як вона демонструє, що якщо $Q$ є абсолютно неперервної мірою щодо $P$, то кожен $P$-семімартінгал є $Q$-семімартингалом.

Твердження

Спочатку сформулюємо теорему для особливого випадку, коли стохастичний процес, що лежить в основі, є процесом Броунівского руху. Цього окремого випадку достатньо для ціноутворення, що нейтралізує ризик, у моделі Блека—Шоулза та у багатьох інших моделях (наприклад, в усіх неперервних моделях).

Нехай $\{W_{t}\}$ є процесом Вінера на ймовірнісному просторі $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$. Нехай $\{X_{t}\}$ є вимірним процесом, адаптованим до природної фільтрації процесу Вінера $\{{\mathcal {F}}_{t}^{W}\}$ з $X_{0}=0$ .

Визначимо експоненту Долеана—Даде ${\mathcal {E}}(X)_{t}$ $X$ по відношенню до $W$

${\mathcal {E}}(X)_{t}=\exp \left(X_{t}-{\frac {1}{2}}[X]_{t}\right),$

де $[X]_{t}$ — це квадратична варіація $X_{t}$. Якщо ${\mathcal {E}}(X)_{t}$ є строго додатним мартингалом, на ньому можна визначити ймовірнісну міру $Q$ $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ таку, що маємо похідну Радона—Нікодима

${\frac {{\rm {d}}Q}{{\rm {d}}P}}{\bigg |}_{{\mathcal {F}}_{t}}={\mathcal {E}}(X)_{t}$.

Тоді для кожного $t$ міра $Q$ звужується на ${\mathcal {F}}_{t}^{W}$, що еквівалентно $P$ звужується на ${\mathcal {F}}_{t}^{W}$. Крім того, якщо $Y$ — локальний мартингал за $P$, то процес

${\tilde {Y}}_{t}=Y_{t}-\left[Y,X\right]_{t}$

є $Q$ локальним мартингалом на фільтрованому просторі ймовірностей $(\Omega ,{\mathcal {F}},\{{\mathcal {F}}_{t}^{W}\},Q)$.

Висновок

Якщо $X$ — неперервний процес і $W$ — броунівський рух за мірою $P$, то

${\tilde {W}}_{t}=W_{t}-\left[W,X\right]_{t}$

— це броунівський рух за $Q$.

Справа в тому, що ${\tilde {W}}_{t}$ неперервний; за теоремою Гірсанова це $Q$ — локальний мартингал, а шляхом обчислення квадратичної варіації

$\left[{\tilde {W}}\right]_{t}=\left[W_{t},W_{t}\right]-2\left[W_{t},[W,X]_{t}\right]+\left[[W,X]_{t},[W,X]_{t}\right]=\left[W\right]_{t}=t$

за характеристикою Леві броунівського руху випливає, що $Q$ — броунівський рух.

Коментарі

У багатьох статтях процес $X$ визначається за допомогою

$X_{t}=\int _{0}^{t}Y_{s}\,{\rm {d}}W_{s}.$

Якщо $X$ має таку форму, то достатньою умовою для ${\mathcal {E}}(X)$ бути мартингалом — це умова Новікова, яка цього вимагає

$E_{P}\left[\exp \left({\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}Y_{s}^{2}\,{\rm {d}}s\right)\right]<\infty .$

Стохастична експонента ${\mathcal {E}}(X)$ — це процес $Z$, який вирішує стохастичне диференціальне рівняння

$Z_{t}=1+\int _{0}^{t}Z_{s}\,{\rm {d}}X_{s}.\,$

Побудована вище міра $Q$ не еквівалентна $P$ на ${\mathcal {F}}_{\infty }$, оскільки це було б тільки в тому випадку, якщо похідна Радона—Нікодима була б рівномірно інтегрованим мартингалом, але описаний вище експоненціальний мартингал не є таким (для $\lambda \neq 0$ ).

Застосування у фінансах

У фінансах теорема Гірсанова використовується щоразу, коли потрібно вивести динаміку активу за новою ймовірнісною мірою. Найвідоміший випадок — перехід від історичної міри $P$ до нейтральної до ризику міри $Q$, яка виконується у моделі Блека—Шоулза за похідною Радона—Нікодима:

${\frac {{\rm {d}}Q}{{\rm {d}}P}}={\mathcal {E}}\left(\int _{0}^{\cdot }{\frac {r-\mu }{\sigma }}\,{\rm {d}}W_{s}\right),$

де $r$ позначає миттєву безризикову ставку, $\mu$ дріфт активу та $\sigma$ його волатильність. Іншими класичними застосуваннями теореми Гірсанова є квантові коригування та розрахунок дріфтів форвардів за моделлю ринку LIBOR .

Дивись також

• Теорема Камерона—Мартіна
• Стохастична експонента