Теорема Дарбу в математичному аналізі

Теорема Дарбу — теорема в математичному аналізі, що стверджує — якщо деяка функція на замкнутому відрізку є похідною іншої функції, то на цьому відрізку вона набуває усіх проміжних значень між значеннями на краях відрізка. Теорема названа на честь французького математика Жана Гастона Дарбу.

У випадку, якщо похідна є неперервною, дане твердження є наслідком теореми Больцано-Коші. Проте теорема Дарбу справедлива навіть якщо похідна не є неперервною.

Твердження теореми

Нехай $I$ — відкритий інтервал, $f\colon I\to \mathbb {R}$ — дійсна диференційована функція. Тоді $f'$ володіє властивістю середнього значення: якщо $a$ і $b$ — точки, що належать $I$ і $a\leq b$, для кожного дійсного числа $k,$ такого що $f'(a)\leqslant k\leqslant f'(b),\,$ існує $c\in [a,b]$ для якого $f'(c)=k.$

Доведення

Розглянемо функцію $g:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ визначену як

$\forall x\in [a,b],\ g(x)=f(x)-xk$

де $k$ є дійсним числом, що знаходиться строго між $\scriptstyle f'(a)$ і $\scriptstyle f'(b)$.

Функція $g$ є диференційованою на відрізку $[a,b]$ і

$\forall x\in [a,b],\ g'(x)=f'(x)-k$

Зокрема, $\scriptstyle g'(a)=f'(a)-k$ і $\scriptstyle g'(b)=f'(b)-k$, тому $\scriptstyle g'(a)<0$ і $\scriptstyle g'(b)>0$ згідно з визначенням $k$.

Функція $g$ є неперервною на $[a,b]$ отже досягає на ньому мінімуму (друга теорема Вейєрштрасса).

Функція $g$ не досягає мінімуму в точці $a$, оскільки тоді для всіх $x\in (a,b]$ :

${\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}\geq 0$

і взявши границю коли $x$ прямує до $a$, одержуємо $\scriptstyle g'(a)\geqslant 0$, що неможливо. Так само мінімум неможливий у точці $b$ оскільки звідси випливало б $\scriptstyle g'(b)\leqslant 0$.

Отже мінімум досягається в точці, що є внутрішньою у відрізку $c\in (a,b)$ . Тоді згідно з теоремою Ферма $g'(c)=0\,$, звідки $f'(c)=k\,$.

Див. також

• Теорема Больцано-Коші
• Теорема Ролля

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)