Теорема Круля — Акідзукі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

В комутативній алгебрі теорема Круля — Акідзукі стверджує: нехай A є одновимірним редукованим нетеровим кільцем (комутативним з одиницею), K його повним кільцем часток. Якщо L є скінченним розширенням K і є редукованим кільцем то будь-яке підкільце що містить A є нетеровим кільцем розмірності 0 або 1. Якщо також в L як K-модулі є скінченна породжуюча множина, що містить 1 і для деякого елемента з цієї множини де L' — підмодуль породжений іншими елементами породжуючої множини, то для кожного ненульового ідеала I в кільці B, є модулем скінченної довжини над A. Остання умова зокрема виконується якщо L є вільним K-модулем базис якого містить 1.

Важливим частковим випадком є коли A є нетеровою областю цілісності, K її полем часток, а Lскінченним розширенням полів. Тоді B має розмірність 0 тоді і тільки тоді коли воно є полем.

Наслідком теореми є те, що ціле замикання кільця Дедекінда A у скінченному розширенні його поля часток теж є кільцем Дедекінда.

Доведення

[ред. | ред. код]

Теорему можна звести до випадку . Нехай — скінченна породжуюча множина L як K-модуля, яка задовольняє додаткову умову теореми, якщо це можливо. Добуток неодиничних елементів цієї множини матиме вигляд де всі і не будуть дільниками нуля. Позначивши p добуток то в породжуючій множині всі елементи можна замінити на Тоді в записі добутків через суму всі коефіцієнти будуть належати A. Також при заміні додаткові умови теореми виконуються.

При вказаному виборі породжуючої множини A-підмодуль і B-підмодуль будуть підкільцями L і скінченними розширеннями кілець A і B відповідно. Оскільки L є редукованим кільцем такими ж є і A' і B' .

Також L є повним кільцем часток для A' . Дійсно кожен елемент L можна записати як частку елемента A' і не дільника нуля з A. Тож L є локалізацією кільця A' . Також кожен не дільник нуля з A' є оборотним елементом елемент L, що і доводить твердження.

Як скінченне (а тому і ціле) розширення A кільце A' є нетерівським розмірності 1. Також B буде нетеровим тоді і лише тоді коли таким буде B' і розмірності збігаються.

Якщо породжувальні елементи задовольняють вказану в твердженні умову, то з того, що для довільного ненульового ідеала I кільця B' фактор-кільце B' /I є A' -модулем скінченної довжини, таке ж твердження випливає для A і B. Дійсно нехай I — ненульовий підмодуль B і — деяка спадна чи зростаюча послідовність A-підмодулів кільця B/I. За умовою для деякого елемента всі елементи виду не можна записати як лінійну комбінацію інших породжувальних елементів. Далі елементи виду утворюють ідеал I' у B' перетин якого з є рівним Фактор-кільце за цим ідеалом є рівне і знову ж елементи не є лінійними комбінаціями інших елементів породжуючої множини. Також будуть A' -підмодулями кільця B' /I' . До того ж всі ці модулі різні, бо всі є різними і ці елементи не виражаються лінійно через інші породжувальні. Звідси B' /I' не має скінченної довжини як A' -модуль, що призводить до суперечності.

Отож достатньо довести теорему коли . Кільце L є очевидно редукованим. До того ж у цьому випадку розмірність є рівною 0 тоді і лише тоді коли . Доведення зводиться до випадку коли A є областю цілісності. Нехай є мінімальними простими ідеалами кільця A. Оскільки A є нетеровим їх є скінченна кількість. Нехай позначають поля часток і — ядра відображень . Тоді:

.

Якщо твердження теореми виконується коли A є областю цілісності, то всі є нетеровими областями і розмірність є рівною 0 у випадку і 1 в іншому випадку. Звідси очевидно, що і розмірність B є рівною 0 або 1, до того ж нулю лише тоді коли B = K. Оскільки то кільце є нетеровим.

Отож доведення зрештою звелося до випадку коли A є областю цілісності. Нехай є ідеалом і a ненульовий елемент у . Нехай . Ці ідеали утворюють спадну послідовність у артиновому кільці і тому існує ціле число l таке, що для всіх .

Далі доведемо

Твердження достатньо довести для всіх максимальних ідеалів кільця, тож можна вважати A локальним кільцем з максимальним ідеалом . Якщо a є оборотним елементом, то твердження очевидне, тож нехай a належить максимальному ідеалу.

Якщо x = b/c є ненульовим елементом у B то з того, що A є нетеровим локальним кільцем розмірності 1 випливає, що cA є -примарним ідеалом і тому існує n для якого зокрема Тому . Звідси,

Нехай тепер n є мінімальним цілим числом для якого виконується останнє твердження. Якщо то:

Але звідси твердження також виконується для , що суперечить мінімальності. Тому і це доводить твердження.

Тепер маємо:

Тому і звідси також є A-модулем скінченної довжини. Оскільки довжина як B-модуля є не більшою, ніж його довжина як A-модуля, то ця довжина є скінченною, а тому цей модуль і також I є скінченнопородженим. Тому B є нетерівським. Окрім того має скінченну довжину як B-модуль, а тому є артіновим кільцем, тобто має розмірність 0. Звідси B має розмірність 1.

Див. також

[ред. | ред. код]

Література

[ред. | ред. код]
  • Huneke, Craig; Swanson, Irena (2006), Integral closure of ideals, rings, and modules, London Mathematical Society Lecture Note Series, т. 336, Cambridge, UK: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-68860-4, MR 2266432
  • Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative ring theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 8, Translated from the Japanese by M. Reid (вид. 2), Cambridge: Cambridge University Press, с. xiv+320, ISBN 0-521-36764-6, MR 1011461 (90i:13001) {{citation}}: Перевірте значення |mr= (довідка)