Теорема Кіршбрауна

Теорема Кіршбрауна про продовження (іноді називають теоремою Валентайна) — теорема про існування продовження ліпшицевої функції, визначеної на підмножині евклідового простору, на весь простір.

Формулювання

Нехай $S$ — довільна підмножина евклідового простору $\mathbb {R} ^{n}$, тоді довільне коротке відображення $f:S\to \mathbb {R} ^{m}$ можна продовжити до короткого відображення ${\bar {f}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$; інакше кажучи, існує коротке відображення ${\bar {f}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ таке, що ${\bar {f}}|_{S}=f$.

Варіації та узагальнення

• Природно узагальнюється на:
  • відображення з підмоножини гільбертового простору в гільбертів простір;
  • відображення з підмоножини простору Лобачевського в простір Лобачевського тієї ж кривини
• Аналогічний результат для відображення між сферами хибний, проте теорема залишається істинною для:
  • відображення з підмоножини сфери в півсферу тієї ж кривини;
  • відображення з підмоножини сфери у сферу тієї ж кривини не меншої розмірності.
• Аналогічний результат для банахових просторів є хибним.

Метрична геометрія

• Узагальнення теореми Кіршбрауна на метричні простори дали Ленг та Шредер.
• Будь-яке коротке відображення на підмножині довільного метричного простору зі значеннями в ін'єктивному просторі допускає коротке продовження на весь простір. Це дає інше узагальнення теореми на метричні простори. До ін'єктивних просторів належать дійсні прямі та метричні дерева, а також $L^{\infty }$-простори.
• Для метричних просторів із властивістю подвоєння виконується слабкий варіант теореми Кіршбрауна. А саме, якщо $X$ — метричний простір із властивістю подвоєння та $A\subset X$ і $V$ — банахів простір, то будь-яке $L$-ліпшицеве відображення $A\to V$ продовжується до $C\cdot L$-ліпшицевого відображення $X\to V$, де стала $C$ залежить лише від параметра у властивості подвоєння.

Історія

Доведено в дисертації Мойжеша Кіршбрауна (захищено 1930). Пізніше цю теорему передовів Фредерік Валентайн.

Див. також

• Теорема Тітце про продовження