Теорема Лебега про мажоровану збіжність

Теоре́ма Лебе́га про мажоро́вану збі́жність — теорема у функціональному аналізі, теорії ймовірностей і суміжних дисциплінах, що визначає достатні умови рівності границі інтегралів Лебега від збіжної послідовності функцій і інтеграла Лебега від граничної функції цієї послідовності. Твердження не має аналогу для інтеграла Рімана і є однією із значних теоретичних переваг інтеграла Лебега.

Формулювання

Нехай $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ — вимірні функції на просторі з мірою $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ , що приймають значення в $\mathbb {R}$ чи $\mathbb {C}$ і задовольняють умови :

Послідовність функцій $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ збігається за мірою до функції $f\;$ на всій множині $X$ .

Існує функція $g\in L^{1},$ така що :

\forall n\in \mathbb {N} ,\forall x\in X,|f_{n}(x)|\leqslant g(x)

Тоді $f\in L^{1}$ і

\lim _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}-f|d\mu =0

при чому виконується :

\lim _{n\to \infty }\,\int _{X}{\,f_{n}d\mu }=\int _{X}{\,\lim _{n\to \infty }\,f_{n}d\mu }=\int _{X}{\,f}d\mu

Доведення

Доведемо, що $f\in L^{1}$ :

оскільки $f\;$ є границею вимірних функцій, вона є вимірною. Також оскільки для усіх $n\;$ виконується $|f_{n}(x)|\leqslant g(x)$ , то здійснивши граничний перехід одержуємо, $|f(x)|\leqslant g(x),\forall x\in X$ звідки $f\in L^{1}$ .

Використавши $2g-|f_{n}-f|\geqslant 0$ і застосувавши лему Фату,

${\begin{aligned}\int _{X}2g\ d\mu &\leqslant \liminf \int _{X}(2g-|f_{n}-f|)\ d\mu \\\ &=\int _{X}2g\ d\mu +\liminf \int _{X}-|f_{n}-f|\ d\mu \\\ &=\int _{X}2g\ d\mu -\limsup \int _{X}|f_{n}-f|\ d\mu \\\end{aligned}}$

Оскільки $\int g\ d\mu <\infty \;$ то, $\limsup \int _{X}|f_{n}-f|\ d\mu \leqslant 0$

звідки

\lim \int _{X}|f_{n}-f|\ d\mu =0

скориставшись цією властивістю можна завершити доведення :

${\begin{aligned}\ &\left|\int _{X}(f_{n}-f)\ d\mu \right|\leqslant \int _{X}|f_{n}-f|\ d\mu \\\Rightarrow &\left|\int _{X}f_{n}\ d\mu -\int _{X}f\ d\mu \right|\leqslant \int _{X}|f_{n}-f|\ d\mu \rightarrow 0\\\Rightarrow &\int _{X}f_{n}\ d\mu \rightarrow \int _{X}f\ d\mu \end{aligned}}$

Зауваження

Умова мажорованості послідовності $\{f_{n}\}$ інтегрованою функцією $g$ не може бути опущена, як показує наступний контрприклад. Нехай $(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )=([0,\;1],\;{\mathcal {B}},\;m)$ , де ${\mathcal {B}}$ - борелівська $\sigma$ -алгебра на $[0,\;1]$ , а $m$ - міра Лебега на тому ж просторі. Визначимо

f_{n}(x)={\begin{cases}n,&x\in \left[0,\;{\dfrac {1}{n}}\right);\\[10pt]0,&x\in \left[{\dfrac {1}{n}},\;1\right].\end{cases}}

Тоді послідовність

\{f_{n}\}

не може бути мажорована інтегрованою функцією, і

\int \limits _{0}^{1}\lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x)\,m(dx)=0\neq 1=\lim \limits _{n\to \infty }\int \limits _{0}^{1}f_{n}(x)\,m(dx).

В твердженні теореми достатньо вимагати збіжності майже всюди і виконання нерівностей $|f_{n}(x)|\leqslant g(x)$ майже всюди.

Справді якщо позначити

N_{k}=\{x:|f_{k}(x)|\geq g(x),\quad n\in \mathbb {N} \}

і

N_{0}

— множина на якій послідовність

f_{k}

не збігається до f, то

\mu \left(N_{k}\right)=0

для всіх

k\;

. Позначивши

N=\bigcup _{k=0}^{\infty }N_{k}

маємо

\mu \left(N\right)=0

і перевизначивши

f_{k}=0,f=0

на

N

маємо, що

f_{k},f

задовольняють всі умови теореми і їх інтеграли не змінюються оскільки перевизначення відбулося на множині міри нуль.

Застосування до теорії ймовірностей

Оскільки математичне сподівання випадкової величини визначається як її інтеграл Лебега по простору елементарних подій $\Omega$ , вищенаведена теорема переноситься і в теорію ймовірностей. Нехай задана послідовність випадкових величин, що сходиться майже напевно: $X_{n}\to X$ майже напевно. Нехай додатково існує інтегровна випадкова величина $Y$ , така що $\forall n\in \mathbb {N} \quad |X_{n}|\leqslant Y$ майже напевно. Тоді випадкові величини $X_{n},\;X$ інтегровні і