Фактор-категорія

Для абелевих фактор-категорій, що породжуються підкатегорією Сере, див. Абелева фактор-категорія.

У математиці фактор-категорія — це категорія, що отримується із іншої категорії шляхом ототожнювання множин морфізмів. Формально кажучи, це фактор-об'єкт в категорії малих категорій, аналогічно до фактор-групи або фактор-простору, але в сенсі категорій.

Означення

Нехай $C$ — категорія. $R$ — відношення конґруентності на категорії $C$, що визначається наступним чином: для кожної пари об'єктів $X,Y\in C$ існує відношення еквівалентності $\operatorname {Hom} (X,Y)$ — відношення еквівалентності відносно композиції морфізмів. Тобто, якщо

$f_{1},f_{2}\colon \ X\to Y$

еквівалентні на $\operatorname {Hom} (X,Y)$ і

$g_{1},g_{2}\colon \ Y\to Z$

еквівалентні на $\operatorname {Hom} (Y,Z)$, тоді $g_{1}f_{1}$ і $g_{2}f_{2}$ еквівалентні на $\operatorname {Hom} (X,Z)$.

Для заданого відношення конґруентності $R$ на категорії $C$ можна визначити фактор-категорію $C/R$ як категорію, об'єкти якої з категорії $C$, і морфізми якої — класи еквівалентності морфізмів категорії $C$. Тобто

$\operatorname {Hom} _{C/R}{\big (}X,Y{\big )}=\operatorname {Hom} _{C}{\big (}X,Y{\big )}/R_{X,Y}.$

Композиція морфізмів на $C/R$ є однозначно визначеною, оскільки $R$ є відношенням конґруентності.

Властивості

Існує природній фактор-функторкатегорії $C$ в фактор-категорію $C/R$, який переводить кожен морфізм у його клас еквівалентності. Цей функтор є бієктивним на об'єктах і сюр'єктивним на $\operatorname {Hom}$-множинах (тобто є повним функтором).

Кожний функтор $F\colon C\to D$ визначає конґруенцію на категорії $C$, тобто $f\sim g$ тоді й лише тоді, коли $F(f)=F(g)$. Тоді функтор $F$ факторизується єдиним чином завдяки фактор-функтору $C\to C/{\sim }$. Це можна розглядати як першу теорему про ізоморфізм для категорій.

Приклади

• Моноїди і групи можна розглянути як категорії з одного об'єкту. У цьому випадку фактор-категорія збігається з таким поняттям як фактор-моноїд або фактор-група.
• Гомотопна категорія топологічних просторів hTop є фактор-категорією простору Top, категорії топологічних просторів. Класи еквівалентності морфізмів є гомотопними класами неперервних відображень.
• Нехай $k$ — поле і розгянемо абелеву категорію $\operatorname {Mod} (k)$ усіх векторних просторів над полем $k$ з $k$-лінійними відображеннями як морфізмами. Щоб "знищити" усі скінченновимірні простори, можемо назвати два лінійних відображення $f,g\colon X\to Y$ конґруентими тоді й лише тоді, коли їх різниця має скінченновимірний образ. В отриманій фактор-категорії усі скінченновимірні векторні простори ізоморфні нулю. (Насправді це приклад адитивних фактор-категорій, див. нижче.)

Суміжні поняття

Адитивні фактор-категорії за ідеалами

Якщо $C$ адитивна категорія і відношення конґруентності $\sim$ над $C$ є адитивним (тобто, якщо $f_{1},f_{2}$, $g_{1}$ і $g_{2}$ є морфізмами із $X$ в $Y$, причому $f_{1}\sim f_{2}$ і $g_{1}\sim g_{2}$, тоді $f_{1}+g_{1}\sim f_{2}+g_{2}$)), тоді фактор-категорія $C/{\sim }$ також буде адитивною, і фактор-функтор $C\to C/{\sim }$ також буде адитивним функтором.

Концепція адитивного відношення конґруентності є еквівалентною концепції двостороннього ідеалу морфізмів: для будь-яких об'єктів $X$ і $Y$ задана адитивна підгрупа $I(X,Y)$ з $\operatorname {Hom} _{C}(Y,Z)$ така, що для усіх $f\in I(X,Y)$, $g\in \operatorname {Hom} _{C}(Y,Z)$ і $h\in \operatorname {Hom} _{C}(W,X)$ отримуємо $gf\in I(X,Z)$ і $fh\in I(W,Y)$. Два морфізми із $\operatorname {Hom} _{C}(X,Y)$ є конґруентими тоді й лише тоді, коли їх різниця належить $I(X,Y)$.

Будь-яке унітальне кільце може бути розглянуте як адитивна категорія з одного об'єкту і адитивна фактор-категорія, визначена вище, у цьому випадку збігається з поняттям фактор-кільця за двостороннім ідеалом.

Локалізація категорії

Локалізація категорії породжує нові морфізми, щоб перетворити деякі мофірзми із вихідної категорії на ізоморфізми. Як правило, це приводить до збільшення кількості морфізмів між об'єктами, а не зменшує їх, як у випадку фактор-категорій. Але в обох конструкціях часто трапляється, що ізоморфними стають два об'єкта, які не були ізоморфізмами в вихідній категорії.

Абелеві фактор-категорії Сере

Абелева фактор-категорія Сере, що породжується підкатегорією Сере, — це нова абелева категорія, яка подібна до фактор-категорії, але також в багатьох випадках має характер локалізації категорії.

Література

• Mac Lane, Saunders (1998, Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 5 (second ed.), Springer-Verlag.