Ґратка E8

Ґратка Е₈ або ґратка Коркінас — Золотарьова — коренева ґратка групи $E_{8}$. Вона реалізує в розмірності 8:

• найбільше можливе контактне число;
• найщільніше пакування куль.

Зазвичай позначається $E_{8}$, як і група $E_{8}$.

Історія

Існування цієї ґратки довів Сміт 1867 року. Першу явну побудову надали Коркін і Золотарьов 1873 року.

Опис

Ґратку $E_{8}$ можна реалізувати як дискретну підгрупу $\mathbb {R} ^{8}$ з векторів, що мають такий набір властивостей:

• всі координати будь-якої точки — або цілі числа, або напівцілі числа (тобто ціле число з половиною);
• сума всіх восьми координат є парним цілим числом.

Інакше кажучи,

$E_{8}=\left\{(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}\cup (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}})^{8}:{\textstyle \sum _{i}}x_{i}\equiv 0\;({\mbox{mod }}2)\right\}.$

Неважко перевірити, що сума та різниця будь-яких двох векторів з $E_{8}$ міститься в $E_{8}$, отже $E_{8}$ є підгрупою $\mathbb {R} ^{8}$.

Ґратку $E_{8}$ можна також реалізувати як множину всіх точок в $E'_{8}$ у $\mathbb {R} ^{8}$ таких, що

• всі координати — цілі числа з парною сумою або
• всі координати — напівцілі з непарною сумою.

Інакше кажучи

$E_{8}'=\left\{(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}\cup (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}})^{8}:{{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\equiv 2x_{1}\equiv 2x_{2}\equiv 2x_{3}\equiv 2x_{4}\equiv 2x_{5}\equiv 2x_{6}\equiv 2x_{7}\equiv 2x_{8}\;({\mbox{mod }}2)\right\}.$

або

$E_{8}'={\biggl \{}(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}:{{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\equiv 0({\mbox{mod }}2){\biggr \}}\cup {\biggl \{}(x_{i})\in (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}})^{8}:{{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\equiv 1({\mbox{mod }}2){\biggr \}}.$

Ґратки $E_{8}$ і $E'_{8}$ ізоморфні, одну можна отримати з іншої, змінивши знак однієї з координат.

Властивості

Характеризація

Ґратку $E_{8}$ можна охарактеризувати як єдину ґратку в $\mathbb {R} ^{8}$, що має такі властивості:

• Це унімодулярна ґратка, тобто
  • з її базису можна скласти матрицю $8\times 8$ із визначником ±1.
  • Інакше кажучи, об'єм фундаментальної області цієї ґратки дорівнює 1.
  • Еквівалентно, $E_{8}$ є самодвоїстою, тобто вона збігається зі своєю оберненою ґраткою.
• Ця ґратка парна, тобто норма будь-якого її вектора — парне ціле число.

Парні унімодулярні ґратки існують тільки в розмірностях, кратних 8. У розмірності 16 таких ґраток дві: $E_{8}\oplus E_{8}$ і $D_{16}^{+}$ (остання будується аналогічно $E_{8}$ у розмірності 16). У розмірності 24 існує 24 такі ґратки, найважливішою з них є ґратка Ліча.

Базис

Один із можливих базисів для $E_{8}$ задається стовпцями такої верхньотрикутної матриці

$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0&0&0&1/2\\0&1&-1&0&0&0&0&1/2\\0&0&1&-1&0&0&0&1/2\\0&0&0&1&-1&0&0&1/2\\0&0&0&0&1&-1&0&1/2\\0&0&0&0&0&1&-1&1/2\\0&0&0&0&0&0&1&1/2\\0&0&0&0&0&0&0&1/2\end{smallmatrix}}\right].$

Тобто $E_{8}$ складається з усіх цілих лінійних комбінацій стовпців. Усі інші базиси виходять з одного множенням праворуч на матрицю GL(8, Z).

Мінімальна норма

Найкоротший ненульовий вектор $E_{8}$ має норму 2, всього ґратка містить 240 таких векторів. Ці вектори утворюють кореневу систему групи $E_{8}$. Тобто ґратка $E_{8}$ є кореневою ґраткою $E_{8}$. Будь-який вибір із 8 простих коренів дає базис $E_{8}$.

Фундаментальна область

Комірками Вороного ґратки $E_{8}$ є стільник $5_{21}$.

Група симетрій

Група симетрій ґратки в Rⁿ визначається як підгрупа ортогональної групи O(n), яка зберігає ґратку. Група симетрій ґратки $E_{8}$ породжена відбиттями в гіперплощинах, ортогональних 240 кореням ґратки. Її порядок дорівнює

$|W(\mathrm {E} _{8})|=696729600=4!\cdot 6!\cdot 8!.$

Ця група містить підгрупу порядку 128 8!, що складається з усіх перестановок координат та парного числа змін знаків. Повна група симетрій породжується цією підгрупою та блоково-діагональною матрицею $H_{4}\oplus H_{4}$, де $H_{4}$ — матриця Адамара

$H_{4}={\tfrac {1}{2}}\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\\end{smallmatrix}}\right].$

Пакування куль

У задачі про пакування куль питається, як найщільніше упакувати без накладань кулі фіксованого радіуса в простір. У R⁸ розміщення куль радіуса $1/{\sqrt {2}}$ у точках ґратки $E_{8}$ дає пакування найбільшої щільності, що дорівнює

${\frac {\pi ^{4}}{2^{4}4!}}\cong 0.25367.$

Те, що ця щільність найбільша для ґратчастих пакувань, було відомо давно. Крім того, було відомо, що така ґратка єдина з точністю до подібності. Марина Вязовська нещодавно довела, що це пакування є оптимальним навіть серед усіх пакувань.

Розв'язки задачі пакування куль відомі тільки в розмірностях 1, 2, 3, 8, і 24. Той факт, що розв'язки відомі в розмірностях 8 і 24, пов'язаний з особливими властивостями ґратки $E_{8}$ та її 24-вимірного аналога — ґратки Ліча.

Контактне число

У задачі про контактне число запитується, яка найбільша кількість куль фіксованого радіуса може торкнутися центральної кулі такого ж радіуса. У розмірності 8 відповідь — 240; таку конфігурацію можна отримати, якщо розмістити кулі в точках ґратки $E_{8}$ із мінімальною нормою. Це доведено 1979 року.

Розв'язки задачі про контактне число відомі тільки в розмірностях 1, 2, 3, 4, 8, і 24. Той факт, що розв'язки відомі в розмірностях 8 і 24, також пов'язаний із особливими властивостями ґратки $E_{8}$ та її 24-вимірного аналога — ґратки Ліча.

Тета-функція

Тета-функція ґратки Λ визначається як сума

$\Theta _{\Lambda }(\tau )=\sum _{x\in \Lambda }e^{i\pi \tau \|x\|^{2}}\qquad \mathrm {Im} \,\tau >0.$

Вона є голоморфною функцією на верхній півплощині. Крім того, тета-функція парної унімодулярної ґратки рангу $n$ є модульною формою ваги $n/2$.

З точністю до нормалізації є єдина модульна форма ваги 4: це ряд Ейзенштейна $G_{4}(\tau )$. Тобто тета-функція ґратки $E_{8}$ має бути пропорційною $G_{4}(\tau )$. Це дає

$\Theta _{E_{8}}(\tau )=1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{2n}$

де $\sigma _{3}(n)$ є функцією дільників s $q=e^{i\pi \tau }$.

Звідси випливає, що число векторів норми $2n$ у ґратках $E_{8}$ дорівнює $240\cdot$(сума кубів дільників $n$). Це послідовність A004009 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS:

$\Theta _{E_{8}}(\tau )=1+240\,q^{2}+2160\,q^{4}+6720\,q^{6}+17520\,q^{8}+30240\,q^{10}+60480\,q^{12}+O(q^{14}).$

Тета-функцію ґратки $E_{8}$ можна записати в термінах тета-функцій Якобі:

$\Theta _{E_{8}}(\tau )={\frac {1}{2}}\left(\theta _{2}(q)^{8}+\theta _{3}(q)^{8}+\theta _{4}(q)^{8}\right)$

де

$\theta _{2}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{(n+{\frac {1}{2}})^{2}}\qquad \theta _{3}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\qquad \theta _{4}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}.$

Код Гемінга

Код Гемінга $H(8,4)$ — це двійковий код довжини 8 і 4-го рангу; тобто, це 4-вимірний підпростір фінітного векторного простору (F₂)⁸. Записавши елементи (F₂)⁸ як 8-бітові цілі числа в шістнадцятковій системі, код $H(8,4)$ можна явно подати як

{00, 0F, 33, 3C, 55, 5A, 66, 69, 96, 99, A5, AA, C3, CC, F0, FF}.

Код $H(8,4)$ є самодвоїстим кодом типу II. Він має мінімальну вагу Гемінга 4; це означає, що будь-які два кодові слова відрізняються принаймні 4-ма бітами. Це найбільший двійковий код довжини 8 з такою властивістю.

За двійковим кодом $C$ довжини $n$ можна побудувати ґратку $\Lambda$, взявши множину векторів $x\in \mathbb {Z} ^{n}$ таких, що $x$ збігається (за модулем 2) з кодовими словами із $C$. Часто зручно масштабувати $\Lambda$ з коефіцієнтом $1/{\sqrt {2}}$,

$\Lambda ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left\{x\in \mathbb {Z} ^{n}:x\,{\bmod {\,}}2\in C\right\}.$

Застосування цієї конструкції до самодвоїстого коду типу II дає парну, унімодулярну ґратку. Зокрема, для коду Гемінга $H(8,4)$ отримуємо ґратку $E_{8}$.

Задача відшукання явного ізоморфізму між отриманою ґраткою і ґраткою $E_{8}$, визначеною вище, не цілком тривіальна.

Цілі октоніони

Ґратка $E_{8}$ використовується при визначенні цілих октоніонів аналогічно цілим кватерніонам.

Цілі октоніони, природно, утворюють ґратку в O. Ця ґратка подібна до ґратки $E_{8}$ із коефіцієнтом $1/{\sqrt {2}}$. (Мінімальна норма у цілих октоніонах дорівнює 1, а не 2).

Цілі октоніони утворюють неасоціативне кільце.

Застосування

• 1982 року Фрідман побудував топологічний чотиривимірний многовид, званий $E_{8}$-многовидом, чия форма перетинів задається ґраткою $E_{8}$. Цей многовид є прикладом топологічного многовиду, який допускає гладку структуру і навіть тріангульовний.
• У теорії струн гетеротична струна — це своєрідний гібрид 26-вимірних бозонних струн і 10-вимірних суперструн. Для того, щоб теорія працювала правильно, 16 зайвих розмірностей мають бути компактифіковані парними унімодулярними ґратками рангу 16. Є дві такі ґратки: $E_{8}\oplus E_{8}$ і $D_{16}^{+}$ (побудована аналогічно $E_{8}$). Це приводить до двох версій гетеротичних струн, відомих як $E_{8}\times E_{8}$ та $SO(32)$.

Див. також

• Ґратка Ліча
• Група Лі Е ₈
• E8-многовид

Література

• Конвей Дж. Квадратичные формы, данные нам в ощущениях. — М. : МЦНМО, 2008. — 144 с. — 1000 прим. — ISBN 978-5-94057-268-8.
• John Horton Conway; Sloane, Neil J. A. Sphere Packings, Lattices and Groups. — 3rd. — New York : Springer-Verlag, 1998. — ISBN 0-387-98585-9.
• John Horton Conway; Smith, Derek A. On Quaternions and Octonions. — Natick, Massachusetts : AK Peters, Ltd, 2003. — ISBN 1-56881-134-9. У розділі 9 обговорюються цілі октиніони та ґратка E₈.