L-функція Діріхле

L-функція Діріхле $L_{\chi }(s)$ — комплекснозначна функція, задана для $\operatorname {Re} \,s>0$ (для $\operatorname {Re} \,s>1$ у випадку головного характера) формулою

$L_{\chi }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}$,

де $\chi (n)$ — деякий характер Діріхле (по модулю k). $L$-функції Діріхле були введені для доведення теореми Діріхле про прості числа в арифметичних прогресіях, де, зокрема використовується нерівність $L_{\chi }(1)\neq 0$ для усіх неголовних характерів.

Для неголовних характерів існує аналітичне продовження до цілої функції. Для головного характера за модулем k існує аналітичне продовження до мероморфної функції, що має простий полюс із лишком ${\frac {\varphi (k)}{k}}$, де $\varphi (k)$ — функція Ейлера.

Добуток Ейлера для L-функцій Діріхле

Зважаючи на мультиплікативність характера Діріхле $\chi$ для $L$-функції Діріхле в області $\operatorname {Re} \,s>1$ виконується розклад у добуток по простих числах]:

$L_{\chi }(s)=\prod _{p}\left(1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}\right)^{-1}$.

Ця формула відіграє важливу роль у застосуваннях $L$-функцій у теорії простих чисел.

Функційне рівняння

Нехай χ — примітивний характер модуля k. Позначимо

$\Lambda (s,\chi )=\left({\frac {\pi }{k}}\right)^{-(s+a)/2}\Gamma \left({\frac {s+a}{2}}\right)L(s,\chi ),$

де Γ — гамма-функція, а символ a заданий як

$a={\begin{cases}0;&\chi (-1)=1,\\1;&\chi (-1)=-1,\end{cases}}$.

Тоді виконується функційне рівняння

$\Lambda (1-s,{\overline {\chi }})={\frac {i^{a}k^{1/2}}{\tau (\chi )}}\Lambda (s,\chi ).$

Тут τ(χ) позначає суми Гаусса

$\sum _{n=1}^{k}\chi (n)\exp(2\pi in/k).$

Зауважимо, що |τ(χ)| = k^1/2.

Зв'язок з дзета-функцією Рімана

$L$-функція Діріхле, для головного характера по модулю k, пов'язана з дзета-функцією Рімана $\zeta (s)$ формулою

$L_{\chi _{0}}(s)=\zeta (s)\prod _{p|k}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)$.

Ця формула дозволяє довизначити $L_{\chi _{0}}(s)$ для області $Re(s)>0$ з простим полюсом в точці $s=1$.

Зв'язок з дзета-функцією Гурвіца

L-можуть бути подані як лінійні комбінації дзета-функцій Гурвіца у раціональних точках. Для цілого числа k ≥ 1, L-функції для характерів по модулю k є лінійними комбінаціями, зі сталими коефіцієнтами, функцій ζ(s,q) де q = m/k і m = 1, 2, …, k. Тому дзета-функція Гурвіца для раціональних q має властивості близькі до L-функцій. Конкретно, якщо χ — характер Діріхле по модулю k то його L-функція Діріхле є рівною

$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{m=1}^{k}\chi (m)\;\zeta \left(s,{\frac {m}{k}}\right).$

Зокрема для головного характера одержується рівність для дзета функції Рімана:

$\zeta (s)={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{m=1}^{k}\zeta \left(s,{\frac {m}{k}}\right).$

Корені L-функцій Діріхле

Якщо χ — примітивний характер Діріхле і χ(−1) = 1, тоді єдиними коренями функції L(s,χ) для яких Re(s) < 0 є від'ємні парні цілі числа. Якщо χ — примітивний характер Діріхле і χ(−1) = −1, тоді єдиними коренями функції L(s,χ) для яких Re(s) < 0 є від'ємні непарні цілі числа.

Для загального характеру $\chi$ існує примітивний характер $\chi ^{*}$, що породжує $\chi$. Тоді виконується рівність $L_{\chi }(s)=L_{\chi ^{*}}(s)\prod _{p|k}\left(1-{\frac {\chi ^{*}(p)}{p^{s}}}\right)$. Тому парні і непарні від'ємні цілі числа теж будуть коренями $L_{\chi }(s)$ залежно від знаку $\chi (-1)$. Але додатково коренями з Re(s) < 0 будуть точки в яких добуток позначений знаком добутку у формулі є рівним нулю.

Всі ці корені називаються тривіальними коренями L-функції Діріхле. Всі інші корені називаються нетривіальними. Відомо, що $L_{\chi }(s)\neq 0$ для $\operatorname {Re} (s)\geqslant 1$, тому всі нетривіальні корені L-функції знаходяться у смузі $0<\operatorname {Re} (s)<1$. Вивчення розподілу нетривіальних нулів є важливою проблемою теорії чисел.

Кожна L-функція Діріхле має нескінченну кількість нетривіальних нулів. Згідно з узагальненої гіпотези Рімана усі вони лежать на прямій $\operatorname {Re} (s)={\frac {1}{2}}$.

Існує константа $c$, така що для всіх комплексних характерів модуля k якщо $L_{\chi }(\beta +i\gamma )=0$, то

$\beta <1-{\frac {c}{\log {\big (}k(2+|\gamma |){\big )}}}\$.

Для дійсних характерів у цьому випадку відомо, що у області заданій цією нерівністю може бути щонайбільше 1 корінь, який може бути лише дійсним числом.

Інші обмеження можна ввести для L-функцій по заданому модулю. Якщо $L_{\chi }(\beta +i\gamma )=0$ для характера $\chi$ по модулю k то

$\beta <1-{\frac {c_{k}}{\log ^{2/3}{\big (}2+|\gamma |{\big )}\log ^{1/3}{\big (}\log(2+|\gamma |){\big )}}}\$,

де $c_{k}$ — константа, що залежить від $k$.

Див. також

• L-функція
• Дзета-функція Гурвіца
• Дзета-функція Рімана
• Ряд Діріхле
• Характер Діріхле

Література

• Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. — Москва : Изд-во Московского университета, 1984.
• Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — Москва : УРСС, 2004.
• Чудаков Н. Г. Введение в теорию L-функций Дирихле. — Москва: ОГИЗ, 1947.