-адичне число — в математиці є поповненням поля раціональних чисел відмінним від дійсних чисел. Поповнення відбувається не щодо звичайної евклідової норми, як у випадку дійсних чисел, а щодо так званої
-адичної норми.
-адичні числа особливо широко застосовуються в теорії чисел.
Нехай
— деяке просте число. Тоді, як відомо кожне ціле число може бути записано:
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}p^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b362d4c4a1c79939631e12946375c4df357fbc16)
де числа
належать до множини
.
Загальновідомим є розширення даних чисел до множини дійсних чисел, кожне з яких може бути записане так:
![{\displaystyle \pm \sum _{i=-\infty }^{n}a_{i}p^{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52149e366b2e7bcae1121a583e3d1221882ee8cd)
де
— деяке ціле число.
-адичні числа натомість можуть бути записані у вигляді:
![{\displaystyle \sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c1a8e198e9a7a4f44d6b16d67589389fe1c908)
де
— деяке ціле число.
Наприклад, взявши
, ми матимемо:
,
.
Обчислення відбуваються за звичайними правилами для чисел з основою
.
Числа для яких
для
називаються
-адичними цілими числами.
Нехай маємо деяке
— ціле число. Назвемо ординалом цього числа по відношенню щодо деякого простого
:
![{\displaystyle \operatorname {ord} _{p}x=\max\{r\colon p^{r}|x\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f54da5c60e7cbaa75bc725b8c565d587a101ccd2)
Далі для
визначимо:
![{\displaystyle \operatorname {ord} _{p}{\frac {a}{b}}=\operatorname {ord} _{p}a-\operatorname {ord} _{p}b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b98e6cead74090faac73655b6fdfe02092a59dd9)
Еквівалентно, якщо
, де
,
не діляться на
то
.
Вважатимемо також, що ординал нуля рівний безмежності.
Визначимо
-адичну норму для
таким чином:
![{\displaystyle |x|_{p}={\begin{cases}p^{-\operatorname {ord} _{p}x},&{\mbox{ }}a\neq 0\\p^{-\infty },&{\mbox{ }}a=0.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73863df14e39d0653146d9ba7ff91868951a2b1f)
Визначена подібним чином функція справді є нормою оскільки:
тоді й лише тоді, коли ![{\displaystyle x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc)
- Справді,
— єдине число ординал якого рівний нескінченності і відповідно єдине, для якого виконується дана рівність.
![{\displaystyle |xy|_{p}=|x|_{p}|y|_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adb662995ca1b619ba95323a8e8d5a10633b1bd2)
- Справді, нехай
, а
, де жодне з чисел
,
,
,
не ділиться на p. Тоді
і
,
не діляться на
.
- За означеннями маємо:
,
,
, що й доводить наше твердження.
![{\displaystyle |x+y|_{p}\leq \max\{|x|_{p},|y|_{p}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20b184549beba32ab4975ac4351b42a91a2fa606)
- Нехай знову
, а
, де жодне з чисел
,
,
,
не ділиться на
. Нехай також
. Тоді
.
- Тож очевидно ординал
не може бути меншим
. Окрім того у випадку коли
строго менше
ординал є рівним
адже в такому випадку чисельник і знаменник у розписі суми очевидно не діляться на
.
Таким чином
, є неархімедовою нормою на полі раціональних чисел.
Наприклад для числа ![{\displaystyle x=63/550=2^{-1}\cdot 3^{2}\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6d1269608a9127bac5988dbe509b0dd5bf8b3e3)
![{\displaystyle \displaystyle |x|_{2}=2\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f23959f0be762308b96de53a5bf028be98f651f4)
![{\displaystyle \displaystyle |x|_{3}=1/9\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d89f63da50d7a64dcca2bbd18ec217fe0ba1108b)
![{\displaystyle |x|_{5}=25\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/197839266cef44fb69f9e18f300a298bebefa795)
![{\displaystyle \displaystyle |x|_{7}=1/7\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c435ed668885daa3f66d3c7c4b6e1571efdc4128)
![{\displaystyle |x|_{11}=11\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b2059e711a330b425c36e6016c23a9ca8ee2095)
, для інших простих чисел.
Фундаментальні послідовності і нуль-послідовності
[ред. | ред. код]
Послідовність
називається збіжною до
за нормою
, якщо
.
Якщо
то така послідовність називається нуль-послідовністю.
Послідовність
називається фундаментальною, якщо:
таке що
.
Із збіжності послідовності випливає її фундаментальність. Зворотне твердження у множині раціональних чисел є невірним.
Введемо на множині фундаментальних послідовностей раціональних чисел щодо p-адичної норми відношення еквівалентності: фундаментальні послідовності
і
є еквівалентні тоді й лише тоді коли їх різниця є нуль-послідовнісю.
Позначатимемо клас еквівалентності послідовності
через
.
На множині класів еквівалентності визначимо арифметичні операції:
,
.
Дані означення є несуперечливими оскільки сума двох нуль-послідовностей є нуль-послідовністю і добуток фундаментальної послідовності на нуль-послідовність є нуль-послідовністю.
Визначимо також загальну
-адичну норму:
![{\displaystyle |{a_{i}}|_{p}=\lim _{n\to +\infty }|a_{i}|_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be3554397e29b2424c7607a8d331b21c68dd9c2c)
Таким чином сконструйовано поле, що є повним відносно p-адичної норми. Воно і називається полем
-адичних чисел. Раціональні числа є щільним підполем даного поля. Числа x для яких
називаються p-адичними цілими числами.
- Кожне p-адичне число можна єдиним способом подати у вигляді:
.
Цим дані числа відрізняються від дійсних, для яких може бути кілька варіантів запису через суму степенів. Наприклад:
![{\displaystyle 1=0,999999999\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9237842fb5c75b1e9690fef40b9197b90dc53530)
- Сума
-адичних чисел збіжна тоді й лише тоді коли
є нуль-послідовністю.
- Топологічний простір
-адичних цілих чисел з метричною топологією гомеоморфний множині Кантора, а простір
-адичних чисел з метричною топологією гомеоморфний множині Кантора з вирізаною точкою.
- Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел, — М.: Наука, 1985.
- Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции, — М.: Мир, 1982.
- Серр Ж.-П. Курс арифметики, — М.: Мир, 1972.