Висота трикутника

Різні типи висот трикутника. Висота може лежати в середині трикутника, на стороні або зовні трикутника.

Висота́ трику́тника — відрізок, проведений з вершини трикутника до прямої, яка містить сторону протилежну вершині, та перпендикулярний до неї. Висотою також називають довжину висоти трикутника, тобто відстань від вершини до протилежної сторони. Основою висоти називається точка перетину висоти та прямої, яка містить протилежну сторону.

Висоту використовують для обчислення площі трикутника. Вона дорівнює половині добутку довжини висоти на довжину основи, тобто протилежної сторони:

$S={\frac {1}{2}}ah,$

де $a,\,h$ — відповідно довжина сторони та висота трикутника ($h$ від англ. height), опущена на цю сторону. Отже, найдовша висота трикутника буде лежати навпроти найкоротшої сторони трикутника. Висота пов'язана з довжинами сторін трикутника тригонометричними функціями.

У рівнобедреному трикутнику (трикутнику, в якому дві сторони конгруентні), висота, проведена до неконгруентної сторони, потрапляє у середню точку цієї сторони. Також, ця висота буде бісектрисою кута трикутника, з вершини якого вона проведена.

В прямокутному трикутнику висота, опущена на гіпотенузу, ділить її на два відрізки довжини m і n. Якщо довжину висоти позначити через $h_{c}$, то отримаємо співвідношення:

$h_{c}={\sqrt {mn}}$  (середнє геометричне)

В гострокутному трикутнику всі три висоти лежать всередині трикутника. В тупокутному трикутнику дві висоти опускаються на продовження сторін та лежать поза межами трикутника. В прямокутному трикутнику дві висоти збігаються з катетами цього трикутника.

Три висоти або їх продовження, перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром трикутника. Ортоцентр буде лежати всередині трикутника (і відповідно всі основи перпендикулярів лежать в трикутнику) тоді і тільки тоді, якщо трикутник не тупокутний (в ньому жоден з внутрішніх кутів не більший за прямий кут).

Теорема про перетин висот трикутника

Три висоти трикутника перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром.

Висоти трикутника (або їхні продовження) перетинаються в одній точці.

Точку перетину висот трикутника називають ортоцентром. В тупокутному трикутнику ортоцентр лежить поза межами трикутника. В гострокутному — всередині трикутника. В прямокутному трикутнику збігається з вершиною прямого кута.

Ілюстрація доведення теореми про перетин висот трикутника

Доведення теореми про перетин висот трикутника

Розглянемо довільний трикутник $ABC$ і доведемо, що прямі $AA_{1}$, $BB_{1}$, $CC_{1}$, які містять його висоти, перетинаються в одній точці.

Проведемо через кожну вершину трикутника $ABC$ пряму, паралельну протилежній стороні. Дістанемо трикутник $A_{2}B_{2}C_{2}$. Точки $A$, $B$ і $C$ є серединами сторін цього трикутника. Справді, $AB=A_{2}C$ і $AB=CB_{2}$ як протилежні сторони паралелограмів $ABA_{2}C$ і $ABCB_{2}$, а тому точка $C$ є серединою стороною $A_{2}B_{2}$. Аналогічно точки $A$ та $B$ є серединами сторін $B_{2}C_{2}$ та $A_{2}C_{2}$ відповідно.

Крім того, як випливає з побудови, $AA_{1}\perp B_{2}C_{2}$, $BB_{1}\perp A_{2}C_{2}$ і $CC_{1}\perp A_{2}B_{2}$. Таким чином, прямі $AA_{1}$, $BB_{1}$, $CC_{1}$ є серединними перпендикулярами до сторін трикутника $A_{2}B_{2}C_{2}$, а тому перетинаються в одній точці як серединні перпендикуляри (відомо, що серединні перпендикуляри в довільному трикутнику перетинаються в одній точці).

Властивості висот рівнобедреного трикутника

• У рівностороннього трикутника всі три висоти рівні.
• В рівнобедреному трикутнику (трикутник в якому дві сторони конгруентні) висота проведена до його основи є одночасно і медіаною, і бісектрисою.

Висота в рівнобедреному трикутнику є одночасно і медіаною, і бісектрисою.

Доведення.

Нехай дано рівнобедрений трикутник $ABC$ ($AC=BC$). Опустимо з вершини $C$ на основу $AB$ висоту $CD$. Утворилося два прямокутних трикутники: $ACD$ та $BCD$. Оскільки ці прямокутні трикутники мають спільний катет $CD$ та конгруентні (рівні) гіпотенузи $AC$ та $BC$ (за умовою), то ці трикутники конгруентні за катетом та гіпотенузою (див. ознаки рівності трикутників). Звідси маємо, що й інші два катети в цих трикутників конгруентні між собою, тобто $AD=BD$. Остання рівність означає, що висота $CD$ в рівнобедреному трикутнику $ABC$ є також і медіаною цього трикутника. Також з конгруентності трикутників $ACD$ та $BCD$ випливає рівність відповідних кутів $\angle ACD$ та $\angle BCD$. Звідси маємо, що висота $CD$ є бісектрисою кута $\angle C$, оскільки вона ділить цей кут на два рівних кути.

• Справедливе і обернене твердження: якщо висота є одночасно медіаною і бісектрисою, то трикутник рівнобедрений. Хоча достатньо вимагати, щоб висота була або медіаною, або бісектрисою, адже ці твердження випливають одне з одного.

Доведення.

Нехай висота $CD$ трикутника $ABC$ є також і його медіаною. Тоді, за означенням медіани, $AD=BD$. Тоді прямокутні трикутники $ACD$ та $BCD$ конгруентні за двома катетами, оскільки $AD=BD$, а катет $CD$ в них спільний. З конгруентності цих трикутників випливає, що і гіпотенузи в цих трикутників конгруентні. Отже, $AC=BC$, а тому трикутник $ABC$ є рівнобедреним.

Нехай висота $CD$ трикутника $ABC$ є також і його бісектрисою. Тоді, за означенням бісектриси, $\angle ACD=\angle BCD$. Тоді прямокутні трикутники $ACD$ та $BCD$ конгруентні за спільним катетом $CD$ та гострими кутами $\angle ACD$ та $\angle BCD$. З конгруентності цих трикутників випливає, що і гіпотенузи в цих трикутників конгруентні. Отже, $AC=BC$, а тому трикутник $ABC$ є рівнобедреним.

• Якщо в трикутнику дві висоти рівні, то трикутник — рівнобедрений, причому рівними будуть сторони, на які опущено висоту.

Висоти, опущені на бічні сторони рівнобедреного трикутника, рівні між собою

Доведення.

І спосіб.

Нехай дано трикутник $ABC$, $AF$ та $BD$ — його висоти, причому $AF=BD$. Тоді прямокутні трикутники $ACF$ та $BCD$ конгруентні за катетом та гострим кутом, оскільки для цих трикутників кут $\angle C$ є спільним. З конгруентності цих трикутників випливає, що і гіпотенузи в цих трикутників конгруентні, тобто $AC=BC$, а тому трикутник $ABC$ є рівнобедреним.

ІІ спосіб.

Нехай дано трикутник $ABC$, $AF$ та $BD$ — його висоти, причому $AF=BD$. Тоді прямокутні трикутники $ADB$ та $ABF$ конгруентні за катетом та спільною гіпотенузою $AB$. З конгруентності цих трикутників випливає, що і кути $\angle DAB$ та $\angle FBA$ конгруентні. А це є достатньою умовою, щоб трикутник $ABC$ був рівнобедреним.

• Справедливе і обернене твердження: в рівнобедреному трикутнику висоти, опущені на бічні сторони, рівні між собою.

Доведення.

Нехай дано рівнобедрений трикутник $ABC$ ($AC=BC$), $AF$ та $BD$ — його висоти. За властивістю рівнобедреного трикутника, кути при основі рівні між собою, тобто $\angle CAB=\angle CBA$. Тоді прямокутні трикутники $ADB$ та $ABF$ конгруентні за спільною гіпотенузою $AB$ та гострим кутом. З конгруентності цих трикутників випливає, що і катети $AF$ та $BD$ конгруентні, тобто $AF=BD$.

Властивості основ висот трикутника

Основи висот утворюють так званий ортоцентричний трикутник, що володіє власними властивостями.

• Описане навколо ортоцентричного трикутника коло є так званим колом Ейлера. На цьому колі окрім основ висот даного трикутника (вершин ортоцентричного трикутника) також лежать три середини сторін трикутника та три середини відрізків, що з'єднують ортоцентр з вершинами трикутника (див. Коло дев'яти точок).

• У будь-якому трикутнику відрізок, що з'єднує основи двох висот трикутника (сторона ортоцентричного трикутника), відсікає трикутник подібний даному.
• Висоти трикутника є бісектрисами відповідного йому ортоцентричного трикутника.
• Вершини трикутника є центрами зовнівписаних кіл відповідного йому ортоцентричного трикутника.
• Серед усіх трикутників, вершини яких по одній лежать на сторонах даного трикутника, ортоцентричний має найменший периметр.
• У трикутнику відрізок, що з'єднує основи двох висот трикутника, що лежать на двох сторонах, антипаралельний третій стороні, з якою він не має спільних точок. Через два його кінці та два кінці третьої згаданої сторони завжди можна провести коло.

Інші властивості висот трикутника

• Якщо трикутник різносторонній, то його внутрішня бісектриса, проведена з будь-якої вершини, лежить між внутрішніми медіаною та висотою, проведеними із тієї ж вершини, що рівносильно нерівності $h_{a}<l_{a}<m_{a}$.

• Висота трикутника ізогонально спряжена діаметру (радіусу) описаного кола, проведеного з тієї ж самої вершини, тобто прямі, що містять цей радіус та висоту є симетричними відносно бісектриси кута при цій же вершині.
• Два трикутники конгруентні за трьома висотами.
• У прямокутному трикутнику висота, проведена з вершини прямого кута, розбиває його на два трикутники, подібних даному.

Основні відношення

• $h_{a}=b{\cdot }\sin \gamma =c{\cdot }\sin \beta$.
• $S={\frac {1}{2}}ah_{a}={\frac {1}{2}}bh_{b}={\frac {1}{2}}ch_{c}$, де $a$, $b$ , $c$ — сторони трикутника, а $h_{a}$, $h_{b}$, $h_{c}$ — висоти, опущені на відповідні сторони трикутника.
• $h_{a}={\frac {2{\cdot }S}{a}}={\frac {b{\cdot }c}{2{\cdot }R}}$, де $S$ — площа трикутника, $a$ — сторона трикутника, до якої проведена висота, $b$ , $c$ — бічні сторони, $R$ — радіус описаного кола.
• $h_{a}:h_{b}:h_{c}={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=(b{\cdot }c):(a{\cdot }c):(a{\cdot }b).$
• ${\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}={\frac {1}{r}}$, де $r$ — радіус вписаного кола.
• $S={\frac {1}{\sqrt {({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{b}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{a}}})}}}$, де $S$ — площа трикутника.
• $a={\frac {2}{h_{a}{\cdot }{\sqrt {({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{b}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{a}}})}}}}$, $a$ — сторона трикутника до якої проведена висота $h_{a}$ (наслідок з попередньої формули).
• Висота $h_{c}$ рівнобедреного трикутника, проведена до основи, обчислюється за формулою $h_{c}={\frac {1}{2}}{\cdot }{\sqrt {4a^{2}-c^{2}}}$, де $c$ — основа рівнобедреного трикутника, а $a$ — бічна сторона. Зокрема, коли трикутник рівносторонній, формула набуває вигляду $h=a{\cdot }{\frac {\sqrt {3}}{2}}$, де $a$ — сторона трикутника.

Теорема про висоту прямокутного трикутника

Нехай $h$ — висота прямокутного трикутника $ABC$, опущена на гіпотенузу прямого кута, і нехай вона ділить гіпотенузу на відрізки $m$ та $n$, які є проєкціями катетів $a$ та $b$ на гіпотенузу $c$ відповідно. Тоді справедливі наступні рівності:

1. $h^{2}=n{\cdot }m$
2. $a^{2}=c{\cdot }m$
3. $b^{2}=c{\cdot }n$
4. $h{\cdot }c=a{\cdot }b$

Доведення.

Трикутники $ACH$, $BCH$ та $ABC$ подібні між собою (за гострим кутом як прямокутні трикутники).

З подібності трикутників $ACH$ та $ABC$ маємо, що ${\frac {h}{a}}={\frac {b}{c}}={\frac {n}{b}}$. Звідси випливає, що $b^{2}=c{\cdot }n$ та $h{\cdot }c=a{\cdot }b$. Також звідси випливає рівність $h={\frac {a{\cdot }n}{b}}$.

З подібності трикутників $BCH$ та $ABC$ маємо, що ${\frac {h}{b}}={\frac {a}{c}}={\frac {m}{a}}$. Звідси випливає, що $a^{2}=c{\cdot }m$. Також звідси випливає рівність $h={\frac {b{\cdot }m}{a}}$.

Оскільки $h={\frac {a{\cdot }n}{b}}$ та $h={\frac {b{\cdot }m}{a}}$, то, помноживши між собою праві та ліві частини рівностей, одержимо $h^{2}={\frac {a{\cdot }n}{b}}{\cdot }{\frac {b{\cdot }m}{a}}=n{\cdot }m$.

Таким чином доведено всі чотири рівності.

Рівність $h^{2}=n{\cdot }m$ можна переписати наступним чином: $h={\sqrt {n{\cdot }m}}$. Це означає, що довжина висоти прямокутного трикутника, опущеної з вершини прямого кута на гіпотенузу, є середнім геометричним довжин відрізків, на які ця висота ділить гіпотенузу.

Див. також

• Медіана трикутника
• Бісектриса
• Ортоцентрична система
• Ортоцентр

Джерела

• Бевз Г. П. Геометрія трикутника. — Київ: Генеза, 2005. — 120 с. ISBN 966-504-431-1
• Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владімірова Н. Г. Геометрія: Підручник для 7-9 кл. — Київ: Вежа, 2004. — 309 с. ISBN 966-7091-66-Х
• Кушнір І. А. Трикутник і тетраедр в задачах: кн. для вчителя / І. А. Кушнір. — К. : Радянська школа, 1991. — 208 с. — ISBN 5-330-02081-6
• Кушнір І. А. Повернення втраченої геометрії / І. Кушнір. — Київ: Факт, 2000. 280 с. ISBN 966-7274-75-5