Точка Лемуана

Точка Лемуа́на трикутника — точка перетину його симедіан (чевіан, симетричних до медіан відносно відповідних бісектрис).

Точку названо на честь французького математика Еміля Лемуана (1840-1912), який вперше присвятив їй ряд досліджень.

Точку Лемуана також можна отримати як точку перетину трьох відрізків, які з'єднують середину кожної сторони з серединою відповідної їй висоти.

Також точка Лемуана є точкою перетину прямих, що з'єднують кожну вершину трикутника з точками перетину дотичних до описаного кола, проведених з двох інших вершин.

Паралелі Лемуана

Нехай є трикутник ABC з точкою Лемуана K. Відрізки прямих, що проходять через K паралельно до сторін трикутника, називаються паралелями Лемуана. Шість точок перетину цих відрізків та сторін трикутника лежать на одному колі, яке називається першим колом Лемуана.

Властивості

• Сума квадратів відстаней від точки на площині до сторін трикутника мінімальна, коли ця точка є точкою Лемуана.
• Відстані від точки Лемуана до сторін трикутника пропорційні довжинам сторін.
• Точка Лемуана є точкою перетину медіан трикутника, утвореного проєкціями точки Лемуана на сторони. Більше того, така точка є єдиною.
• Точка Лемуана є точкою Жергонна трикутника, утвореного дотичними до описаного кола в вершинах трикутника.
• Коло, побудоване на відрізку $OK$ ($O$ — центр описаного кола) як на діаметрі, містить точки Брокара. Це коло називається колом Брокара.
• Пряма $OK$ називається віссю Брокара. Вона містить точки Аполлонія та ізогонально спряжена до гіперболи Кіперта.
• Якщо симедіани продовжити до повторного перетину з описаним колом трикутника в точках $\scriptstyle A_{1},B_{1},C_{1}$, то точка K залишиться точкою Лемуана для трикутника $\scriptstyle A_{1}B_{1}C_{1}$.

Джерела

• Weisstein, Eric W. Точка Лемуана(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.