Глюонне поле

Глюонне поле — 4-векторне поле в теоретичній фізиці елементарних частинок, що описує еволюцію глюонів та задає сильну взаємодію між кварками. Воно відіграє таку роль у квантовій хромодинаміці (КХД), як електромагнітний 4-потенціал у квантовій електродинаміці (КЕД).

Вступ

Глюон може мати 8 колірних зарядів, тому існує 8 глюонних полів, на відміну від фотонів, які є нейтральними і тому у фотона тільки одне поле. Глюонні поля для кожного колірного заряду мають «часоподібну» компоненту аналогічну до електричного потенціалу і три «простороподібні» компоненти аналогічні векторному магнітному потенціалу.^[1]

{\boldsymbol {\mathcal {A}}}^{n}(\mathbf {r} ,t)=[\underbrace {{\mathcal {A}}_{0}^{n}(\mathbf {r} ,t)} _{\text{timelike}},\underbrace {{\mathcal {A}}_{1}^{n}(\mathbf {r} ,t),{\mathcal {A}}_{2}^{n}(\mathbf {r} ,t),{\mathcal {A}}_{3}^{n}(\mathbf {r} ,t)} _{\text{spacelike}}]=[\phi ^{n}(\mathbf {r} ,t),\mathbf {A} ^{n}(\mathbf {r} ,t)]

де $n = 1, 2, \dots 8$ не є показником степеня, а нумерує вісім колірних зарядів глюона; всі компоненти залежать від радіус-вектора глюона r і часу t. ${\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}$ — поле скалярів, для деяких компонент часопростору і колірного заряду глюона. матриці Гелл-Манна $λ a$ — вісім матриць 3 × 3, які формують матричне подання групи SU(3). Вони також є генераторами групи SU(3) в контексті квантової механіки і теорії поля; генератор можна розглядати як оператор, що відповідає перетворенню симетрії (див. симетрія у квантовій механіці). Ці матриці відіграють важливу роль в КХД, оскільки КХД – калібрувальна теорія, побудована на групі симетрії SU(3). Кожна матриця Гелл-Манна відповідає конкретному колірному заряду глюона. Генератори групи також можуть слугувати базисом векторного простору, так що загальне глюонне поле є суперпозицією всіх колірних полів. З точки зору матриць Гелл-Манна компоненти глюонного поля представлені матрицями 3 × 3, визначаються формулою:

t_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}\,.

Або, зібравши компоненти в вектор з чотирьох 3 × 3 матриць,

{\boldsymbol {\mathcal {A}}}(\mathbf {r} ,t)=[{\mathcal {A}}_{0}(\mathbf {r} ,t),{\mathcal {A}}_{1}(\mathbf {r} ,t),{\mathcal {A}}_{2}(\mathbf {r} ,t),{\mathcal {A}}_{3}(\mathbf {r} ,t)]

Глюонне поле:

{\boldsymbol {\mathcal {A}}}=t_{a}{\boldsymbol {\mathcal {A}}}^{a}\,.

Калібрувальні перетворення

Калібрувальні перетворення кожного глюонного поля ${\mathcal {A}}_{\alpha }^{n}$ , що не змінюють тензор напруженості глюонного поля:^[2]

{\mathcal {A}}_{\alpha }^{n}\rightarrow e^{i{\bar {\theta }}(\mathbf {r} ,t)}\left({\mathcal {A}}_{\alpha }^{n}+{\frac {i}{g_{s}}}\partial _{\alpha }\right)e^{-i{\bar {\theta }}(\mathbf {r} ,t)}

де

{\bar {\theta }}(\mathbf {r} ,t)=t_{n}\theta ^{n}(\mathbf {r} ,t)\,,

є матрицею 3 × 3 . $θ n = θ n (r, t)$ — вісім калібрувальних функцій, залежних від радіус-вектора $r$ і часу t. Калібрувальна коваріантна похідна перетворюється ідентично. Функції $θ n$ тут аналогічні калібрувальній функції $χ (r, t)$ при зміні електромагнітного потенціалу $A$ в компонентах простору-часу:

A'_{\alpha }(\mathbf {r} ,t)=A_{\alpha }(\mathbf {r} ,t)-\partial _{\alpha }\chi (\mathbf {r} ,t)\,

Кваркове поле є інваріантним щодо калібрувальних перетворень^[2]

\psi (\mathbf {r} ,t)\rightarrow e^{ig{\bar {\theta }}(\mathbf {r} ,t)}\psi (\mathbf {r} ,t).

Тензор напруженості глюонного поля

Тензор напруженості глюонного поля є тензорним полем другого рангу в просторі-часі, яке характеризує взаємодію між кварками та глюонами.

Компоненти тензора

^[2]^[3]

G_{\alpha \beta }=\pm {\frac {1}{g_{s}}}[D_{\alpha },D_{\beta }]\,,

де $D_{\mu }=\partial _{\mu }\pm ig_{s}t_{a}{\mathcal {A}}_{\mu }^{a}\,,$ — калібрувальна коваріантна похідна^[2]^[3] , в якій:

$i$ — уявна одиниця;
$g s$ — стала зв'язку сильної взаємодії;
$t a = λ a /2$ — матриці Гелл-Манна поділені на 2;
$a$ — індекс кольору, який може набувати значень від 1 до 8;
$μ$ — індекс простору-часу, 0 для часоподібних компонент і 1, 2, 3 для простороподібних компонент;
${\mathcal {A}}_{\mu }=t_{a}{\mathcal {A}}_{\mu }^{a}$
${\mathcal {A}}_{\mu }$ — її чотири компоненти, які при фіксованому калібруванні є функціями, результатом яких є ермітові матриці 3×3 ; * ${\mathcal {A}}_{\mu }^{a}$ — 32 функції, результатом яких є дійсні значення, по 4 компоненти для кожного з восьми векторних полів.

Розклад комутатора дає:

G_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }{\mathcal {A}}_{\beta }-\partial _{\beta }{\mathcal {A}}_{\alpha }\pm ig_{s}[{\mathcal {A}}_{\alpha },{\mathcal {A}}_{\beta }].

Підставивши $t_{a}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}={\mathcal {A}}_{\alpha }$ і використавши співвідношення $[t_{a},t_{b}]=if^{abc}t_{c}$ для матриць Гелл-Манна (з перепозначенням індексів), в яких $f abc$ — структурні константи SU(3), кожна компонента напруженості глюонного поля може бути виражена як лінійна комбінація матриць Гелл-Манна наступним чином:

{\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=\partial _{\alpha }t_{a}{\mathcal {A}}_{\beta }^{a}-\partial _{\beta }t_{a}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}\pm ig_{s}\left[t_{b},t_{c}\right]{\mathcal {A}}_{\alpha }^{b}{\mathcal {A}}_{\beta }^{c}\\&=t_{a}\left(\partial _{\alpha }{\mathcal {A}}_{\beta }^{a}-\partial _{\beta }{\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}\pm i^{2}g_{s}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{b}{\mathcal {A}}_{\beta }^{c}\right)\\&=t_{a}G_{\alpha \beta }^{a}\\\end{aligned}}\,,

так що :^[4]^[5]:

G_{\alpha \beta }^{a}=\partial _{\alpha }{\mathcal {A}}_{\beta }^{a}-\partial _{\beta }{\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}\mp g_{s}f^{abc}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{b}{\mathcal {A}}_{\beta }^{c}\,.

Порівняння з електромагнітним тензором

Тензор глюонного поля дуже схожий на тензор електромагнітного в КЕД;

F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }\,.

Основна відмінність між КХД і КЕД полягає в тому, що напруженість глюонного поля має додаткові умови, які спричиняють взаємодію між глюонами і асимптотичну свободу. Це ускладнює сильні взаємодії, спричиняючи їхню нелінійність, на відміну від лінійної теорії електромагнітної взаємодії. Операції в КХД не комутативні, що робить відповідну лінійну алгебру нетривіальною.

Густина лагранжіана в КХД

Густина лагранжіана безмасових кварків, зв'язаних глюонами^[2]:

{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left(G_{\alpha \beta }G^{\alpha \beta }\right)+{\bar {\psi }}\left(iD_{\mu }\right)\gamma ^{\mu }\psi

де tr — слід матриці 3× $G αβ G αβ$ , а $γ μ$ — гамма-матриці Дірака.

Рівняння руху

Рівняння для тензора напруженості глюонного поля — рівняння Янга-Міллса для глюонів та кварків

\left[D_{\mu },G^{\mu \nu }\right]=g_{s}j^{\nu }

.

Аналогічно до електричного струму, який є джерелом електромагнітного тензора, струм колірного заряду є джерелом тензора напруженості глюонного поля і задається рівняннями:

j^{\nu }=t^{b}j_{b}^{\nu }\,,\quad j_{b}^{\nu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\nu }t^{b}\psi .

Колірний струм є постійним, оскільки колірний заряд зберігається. Отже, колірний 4-струм повинен задовольняти рівняння неперервності:

\partial _{\nu }j^{\nu }=0\,.

Див. також

Посилання

↑ B.R. Martin, G. Shaw (2009). Particle Physics. Manchester Physics Series (вид. 3rd). John Wiley & Sons. с. 380–384. ISBN 978-0-470-03294-7.
↑ ^а ^б ^в ^г ^д W. Greiner, G. Schäfer (1994). 4. Quantum Chromodynamics. Springer. ISBN 3-540-57103-5. Архів оригіналу за 19 квітня 2016. Процитовано 27 травня 2016.
↑ ^а ^б S.O. Bilson-Thompson, D.B. Leinweber, A.G. Williams (2003). Highly improved lattice field-strength tensor. Annals of Physics. Т. 304(1). Adelaide, Australia: Elsevier. с. 1—21.
↑ M. Eidemüller, H.G. Dosch, M. Jamin (1999). The field strength correlator from QCD sum rules. Nucl.Phys.Proc.Suppl.86:421-425,2000. Heidelberg, Germany. arXiv:hep-ph/9908318.
↑ M. Shifman (2012). Advanced Topics in Quantum Field Theory: A Lecture Course. Cambridge University Press. ISBN 0521190843. Архів оригіналу за 22 серпня 2014. Процитовано 24 квітня 2016.

Література

И. М. Дремин, А. В. Леонидов. Кварк-глюонная среда // УФН. — 2010. — Т. 180. — С. 1167—1196.
The Large Hadron Collider: Harvest of Run 1 с. 4, 65, 356—357, 359, 361, 412, 419, 518 [Архівовано 21 березня 2016 у Wayback Machine.] Опубликована монография по результатам LHC Run 1
Jean Letessier, Johann Rafelski, T. Ericson, P. Y. Landshoff. Hadrons and Quark-Gluon Plasma. — Cambridge University Press, 2002. — 415 p. — ISBN 9780511037276.

[Martin_and_Shaw-1] B.R. Martin, G. Shaw (2009). Particle Physics. Manchester Physics Series (вид. 3rd). John Wiley & Sons. с. 380–384. ISBN 978-0-470-03294-7.

[Greiner,_Schäfer-2] а ^б ^в ^г ^д W. Greiner, G. Schäfer (1994). 4. Quantum Chromodynamics. Springer. ISBN 3-540-57103-5. Архів оригіналу за 19 квітня 2016. Процитовано 27 травня 2016.

[:0-3] а ^б S.O. Bilson-Thompson, D.B. Leinweber, A.G. Williams (2003). Highly improved lattice field-strength tensor. Annals of Physics. Т. 304(1). Adelaide, Australia: Elsevier. с. 1—21.

[4] M. Eidemüller, H.G. Dosch, M. Jamin (1999). The field strength correlator from QCD sum rules. Nucl.Phys.Proc.Suppl.86:421-425,2000. Heidelberg, Germany. arXiv:hep-ph/9908318.

[5] M. Shifman (2012). Advanced Topics in Quantum Field Theory: A Lecture Course. Cambridge University Press. ISBN 0521190843. Архів оригіналу за 22 серпня 2014. Процитовано 24 квітня 2016.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]