Гіпероператор

Гіпероператор — нескінченна послідовність арифметичних операцій, що починається з унарної операції наступний елемент, а далі бінарні операції додавання, множення, піднесення до степеня, тетрація, пентація, …

(~S,\;+,\;\times ,\;\uparrow ,\;\uparrow \uparrow ,\;\dots ,\;\uparrow ^{n-2})

Був запропонований англійським математиком Рубеном Гудштейном.

Визначення

Послідовність гіпероперацій — послідовність бінарних операцій $H_{n}:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ з індексом $n\in \mathbb {N}$ визначається рекурсивно:

H_{n}(a,b)={\begin{cases}b+1&n=0\\a&n=1,b=0\\0&n=2,b=0\\1&n\geq 3,b=0\\H_{n-1}{\big (}a,\,H_{n}(a,b-1){\big )}&\end{cases}}

Ця рекурсивна формула узагальнює послідовність формул:

~H_{1}(a,b)=a+b=1+(a+(b-1)

~H_{2}(a,b)=a\times b=a+(a\times (b-1))

~H_{3}(a,b)=a^{b}=a\times (a^{(b-1)})

Приклади

~H_{0}(a,b)=b+1

(наступний елемент),

~H_{1}(a,b)=a+b

(додавання),

~H_{2}(a,b)=a\times b

(множення),

~H_{3}(a,b)=a^{b}

(піднесення до степеня),

~H_{4}(a,b)=\;^{b}a

(тетрація)

~H_{5}(a,b)=\;_{b}a

(пентація)

Позначення

Назва	Позначення для $~H_{n}(a,b)$
нотація Кнута	$~a\uparrow ^{n-2}b$
нотація Конвея	$~a\rightarrow b\rightarrow (n-2)$
позначення Гудштейна	$~G(n,a,b)$
	$~{\mbox{hyper}}(a,n,b)$
	$~a\otimes ^{n}b$
	$a{\,{\begin{array}{\|c\|}\hline {\!n\!}\\\hline \end{array}}\,}b$
	$~a{}^{(n)}b$
	$~a{}_{(n)}b$
	$~a[n]b$