Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Тетрація (суперстепінь , гіпер-4 ) — ітераційна операція піднесення до степеня ; гіпероператор наступний після піднесення до степеня. Застосовується для опису великих чисел.
Термін тетрація , складається зі слів тетра- (чотири) та ітерація , був вперше застосований англійським математиком Рубеном Гудштейном в 1947 році
lim
n
→
∞
x
n
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }x^{\frac {n}{}}}
Нескінченне піднесення до степеня
Тетрація є четвертою по рахунку гіпероперацією.
додавання :
a
+
n
=
a
+
1
+
1
+
⋯
+
1
⏟
n
{\displaystyle a+n=a+\underbrace {1+1+\cdots +1} _{n}}
множення :
a
×
n
=
a
+
a
+
⋯
+
a
⏟
n
{\displaystyle a\times n=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{n}}
піднесення до степеня :
a
n
=
a
×
a
×
⋯
×
a
⏟
n
{\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}}
тетрація:
n
a
=
a
a
⋅
⋅
a
⏟
n
{\displaystyle {^{n}a}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{n}}
пентація :
n
a
=
a
⋅
⋅
a
a
⏟
n
{\displaystyle {_{n}a}=\underbrace {^{^{^{^{a}\cdot }\cdot }a}a} _{n}}
Кожна наступна операція представлена як ітерація попередньої.
4
2
=
2
(
2
(
2
2
)
)
≠
(
(
2
2
)
2
)
2
=
2
2
⋅
2
⋅
2
{\displaystyle ^{4}2=2^{{\Big (}2^{\left(2^{2}\right)}{\Big )}}\neq \left({\left(2^{2}\right)}^{2}\right)^{2}=2^{2\cdot 2\cdot 2}}
Термін
a
a
⋅
⋅
a
a
{\displaystyle a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{a}}}}}}
Тетрація
a
a
⋅
⋅
a
x
{\displaystyle a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}}
Ітеративна експонента
a
1
a
2
⋅
⋅
a
n
{\displaystyle a_{1}^{a_{2}^{\cdot ^{\cdot ^{a_{n}}}}}}
Вкладена експонента (вежа)
a
1
a
2
a
3
⋅
⋅
⋅
{\displaystyle a_{1}^{a_{2}^{a_{3}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}
Нескінченна експонента (вежа)
Система
Позначення
Пояснення
Стандартний запис
n
a
{\displaystyle \,{}^{n}a}
Ітеративна експонента
exp
a
n
(
1
)
{\displaystyle \exp _{a}^{n}(1)}
Гіпероператор
a
(
4
)
n
,
hyper
4
(
a
,
n
)
{\displaystyle a^{(4)}n,\,\operatorname {hyper} _{4}(a,n)}
Позначення Кнута
a
↑↑
n
{\displaystyle ~a{\uparrow \uparrow }n}
стрілка Кнута
Позначення Конвея
a
→
n
→
2
{\displaystyle ~a\rightarrow n\rightarrow 2}
ланцюжок Конвея
Функція Акермана
n
2
=
A
(
4
,
n
−
3
)
+
3
{\displaystyle ^{n}2=\operatorname {A} (4,n-3)+3}
тільки для випадку a = 2
ASCII запис
a^^n
варіант стрілки Кнута
Тетрацію при показникові прямуючому до нескінченності обчислюють як границю.
Наприклад, границя
2
2
2
⋅
⋅
⋅
{\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}
рівна 2.
Це можна узагальнити аж на комплексні числа:
∞
z
=
z
z
⋅
⋅
⋅
=
W
(
−
ln
z
)
−
ln
z
{\displaystyle {}^{\infty }z=z^{z^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}={\frac {\mathrm {W} (-\ln {z})}{-\ln {z}}}}
де W (z ) — W-функція Ламберта .
Оберненими функціями до тетрації є суперкорінь та суперлогарифм . Квадратний суперкорінь
s
s
r
t
(
x
)
{\displaystyle ~\mathrm {ssrt} (x)}
є оберненою функцією до
x
x
{\displaystyle x^{x}}
:
s
s
q
r
t
(
x
)
=
e
W
(
l
n
(
x
)
)
=
l
n
(
x
)
W
(
l
n
(
x
)
)
{\displaystyle \mathrm {ssqrt} (x)=e^{W(\mathrm {ln} (x))}={\frac {\mathrm {ln} (x)}{W(\mathrm {ln} (x))}}}
Для натуральних чисел n > 2, функція n x визначена та зростаюча при x ≥ 1, тому n -ий суперкорінь існує при x ≥ 1.
Тетрація x a неперервно зростає по x , тому суперлогарифм визначений для всіх дійсних x при a > 1.
s
l
o
g
a
x
a
=
x
{\displaystyle ~\mathrm {slog} _{a}{^{x}a}=x}
s
l
o
g
a
a
x
=
1
+
s
l
o
g
a
x
{\displaystyle ~\mathrm {slog} _{a}a^{x}=1+\mathrm {slog} _{a}x}
s
l
o
g
a
x
=
1
+
s
l
o
g
a
log
a
x
{\displaystyle ~\mathrm {slog} _{a}x=1+\mathrm {slog} _{a}\log _{a}x}
s
l
o
g
a
x
>
−
2
{\displaystyle ~\mathrm {slog} _{a}x>-2}
Приклади чисел в порядку збільшення
Нотації
Функції
Статті за темою