Нотація Бауерса

Нотація Бауерса (англ. Bowers array notation) — нотація для запису великих чисел, яку запропонував американський математик Джонатан Баверс (Jonathan Bowers) 2002 року.

Рекурсивні формули

Формули застосовуються у вказаному порядку:

1. $\{a\}=a$ та $\{a,b\}=a^{b}$
2. $\{a,b,\ldots ,n,1\}=\{a,b,\ldots ,n\}$
3. $\{a,1,b,\ldots ,n\}=a$
4. $\{a,b,1,\ldots ,1,c,d,\ldots ,n\}=\{a,a,a,\ldots ,\{a,b-1,1,\ldots ,1,c,d,\ldots ,n\},c-1,d,\ldots ,n\}$.
5. $\{a,b,c,d,\ldots ,n\}=\{a,\{a,b-1,c,d,\ldots ,n\},c-1,d,\ldots ,n\}$

Приклади

• $\{10,100\}=10\uparrow 100$
• $\{10,100,2\}=\{10,\{10,99,2\}\}=\{10,\{10,\{10,98,2\}\}\}=...=10\uparrow \uparrow 100$ (правило 5)
• $\{10,100,3\}=\{10,\{10,99,3\},2\}=\{10,\{10,\{10,98,3\},2\},2\}=...=10\uparrow \uparrow \uparrow 100$ (правило 5)

• $\{10,100,1,2\}=\{10,10,\{10,99,1,2\}\}=\{10,10,\{10,10,\{10,98,1,2\}\}\}=...\approx 10\rightarrow 10\rightarrow 100\rightarrow 2$ (правило 4)

а це більше числа Грема, яке знаходиться між {3,64,1,2} та {3,65,1,2}).

• $\{10,100,2,2\}=\{10,\{10,99,2,2\},1,2\}=\{10,\{10,\{10,98,2,2\},1,2\},1,2\}=...\approx 10\rightarrow 10\rightarrow 100\rightarrow 3$ (правило 5)
• $\{10,100,m,2\}\approx 10\rightarrow 10\rightarrow 100\rightarrow (m+1)$

В загальному випадку для 3-елементного масива:

$\{a,b,n\}=a\uparrow ^{n}b$ нотація Кнута.

В загальному випадку для 4-елементного масива:

$\{a,b,c,n\}>\underbrace {a\rightarrow a\rightarrow \cdots a\rightarrow a} _{n-1{\text{ стрілок}}}\rightarrow (b-1)\rightarrow (c+1)$ нотація Конвея.

Нотація Баверса з 3 елементів має потужність нотації Кнута (межа $\omega$), а з 4 елементів — потужність нотації Конвея (межа $\omega ^{2}$), і так далі, для скінченного масива межа = $\omega ^{\omega }$ в термінології швидкозростаючої ієрархії.

Джерела

• http://www.polytope.net/hedrondude/array.htm