Диференціал Абеля

Абеля диференціал — голоморфний, або мероморфний диференціал на компактній, або замкнутій поверхні Рімана S.

Нехай g — рід поверхні S; a₁b₁a₂b₂..a_gb_g — цикли канонічної бази S. В залежності від характеру особливостей розрізняють диференціали Абеля трьох типів: I, II, III причому мають місце строгі включення: $I\,\subset \,II\,\subset \,III$. Диференціал Абеля І-го роду — це голоморфні всюди на S диференціали 1-го порядку, котрі в околі U кожної точки $P_{0}\,\in \,\!S$ мають вигляд $\omega \,=\,pdz\,=\,p(z)dz$, де $z=x+iy$ — локальна уніформізуюча змінна в U, $dz\,=\,dx+idy$, а p(z) — голоморфна, або регулярна аналітична функція на U. Додавання і множення диференціалів Абеля визначаються звичайними правилами(див. диференціал).

Диференціали Абеля І роду формують векторний простір ${\mathfrak {U}}$ розмірності g. Після введення скалярного добутку

$(\omega ,\pi )\,=\,\iint _{D}\omega *{\overline {\pi }}$,

де $\omega *{\overline {\pi }}$ — зовнішній добуток $\omega$ на зірково спряжений диференціал ${\overline {\pi }}$, ${\mathfrak {U}}$ перетворюється в Гільбертів простір.

Нехай $A_{1},\,B_{1},\,A_{2},\,B_{2},\,\ldots A_{g},\,B_{g}$ — А- і В- періоди другого роду диференціала Абеля. І роду $\omega$, тобто інтеграли

$A_{j}\,=\,\int _{a_{j}}\omega ,B_{j}\,=\,\int _{b_{j}}\omega ,j=1,\,2,\,\ldots ,\,g$. (1)

Тоді справедливе наступне співвідношення:

${\|\omega \|}^{2}\,=\,i\sum _{j=1}^{g}\left(\,A_{j}{\overline {B}}_{j}\,-\,B_{j}{\overline {A}}_{j}\right)\,\geq \,0$

Нехай $A_{1}^{\prime },\,B_{1}^{\prime },\,A_{2}^{\prime },\,B_{2}^{\prime },\,\ldots A_{g}^{\prime },\,B_{g}^{\prime }$ — періоди другого роду диференціала Абеля І-го роду $\pi$, то

$i(\omega ,\,{\overline {\pi }})\,=\,\sum _{j=1}^{g}\left(\,A_{j}B_{j}^{\prime }\,-\,B_{j}A_{j}^{\prime }\right)\,=\,0$. (2)

Співвідношення (1) і (2) називають білінійними відношеннями Рімана для диференціала Абеля І роду. Канонічна база диференціала Абеля І роду, тобто канонічна база $\varphi _{1},\,\varphi _{2},\,\ldots ,\,\varphi _{g}$ простору ${\mathfrak {U}}$, вибирається таким чином, щоб

$A_{ij}\,=\,\int _{a_{i}}\varphi _{i}\,=\,\delta _{ij}$,

де $\delta _{ij}$ — символ Кронекера. При цьому матриця $(B_{ij}),i,j={\overline {1,g}}$, B-періодів

$B_{ij}\,=\,\int _{b_{j}}\varphi _{ij}$

симетрична, а матриця уявних частин $(Im\;B_{ij})$ додатно визначена. Диференціал Абеля І роду, у якого всі А- або В- періоди тотожно рівні нулю рівний нулю. Якщо всі періоди диференціала Абеля І роду $\omega$ дійсні, то $\omega =0$.

Диференціали Абеля ІІ і ІІІ роду відносяться до мероморфних диференціалів, тобто до таких аналітичних диференціалів, котрі мають на S не більш ніж скінченну множину особливостей типу полюсів з локальним представленням

$\left({\frac {a_{-n}}{z^{n}}}\,+\,{\frac {a_{-n+1}}{z^{n-1}}}\,+\,\ldots \,+\,{\frac {a_{-1}}{z}}\,+\,f(\,z\,)\right)dz$, (3)

де f(z) — регулярна функція, n — порядок полюсу(якщо $a_{-n}\,\neq \,0$), a_-n — лишок в даному полюсі. При n=1 полюс називається простим. Диференціал Абеля ІІ роду — це мероморфні диференціали, в яких всі лишки дорівнюють нулю. Тобто їхнє локальне представлення має такий вигляд:

$\left({\frac {a_{-n}}{z^{n}}}\,+\,{\frac {a_{-n+1}}{z^{n-1}}}\,+\,\ldots \,+\,{\frac {a_{-2}}{z^{2}}}\,+\,f(\,z\,)\right)dz$.

Диференціал Абеля ІІІ роду — це диференціал Абеля довільного вигляду.

Якщо $\omega$ — довільний диференціал Абеля з А-періодами $A_{1},\,A_{2},\,\ldots ,\,A_{g}$, то диференціал Абеля $\omega ^{\prime }\,=\,\omega -A_{1}\varphi _{1}\,-\,A_{2}\varphi _{2}\,-\,\ldots \,-\,A_{g}\varphi _{g}$ має нульові А-періоди і називається нормованим. Якщо P₁ i P₂ — довільні точки S, то можна побудувати диференціал Абеля $\omega _{1,2}$ з особливостями $\left({\frac {1}{z}}\right)dz$ в P₁ і $\left(-{\frac {1}{z}}\right)dz$ в P₂, який називається нормальним диференціалом Абеля ІІІ роду. Нехай $\omega$ — довільний диференціал Абеля з лишками $c_{1},\,c_{2},\,\ldots ,\,c_{n}$ в точках $P_{1},\,P_{2},\,\ldots ,\,P_{n}$ відповідно, причому $c_{1}+c_{2}+\ldots +c_{n}=0$. Якщо $P_{0}\neq P_{j}\;j={\overline {1,n}}$ така довільна точка на S то $\omega$ можна представити у вигляді лінійної комбінації нормованого диференціала Абеля ІІ роду $\omega _{2}$, скінченного числа нормальних диференціалів Абеля $\omega _{j,0}$ і базисних диференціалів Абеля І роду $\omega _{k}$:

$\omega =\omega _{2}+\sum _{j=1}^{n}c_{j}\omega _{j,0}+\sum _{k=1}^{g}A_{k}\varphi _{k}$.

Нехай $\omega _{3}$ — диференціал Абеля ІІІ роду, що має лише прості полюси, з лишками $c_{j}$ в точках $P_{j},\,j=1,2,...,n$, а $\omega _{1}$ — довільний диференціал Абеля І роду;

$A_{k}=\int _{a_{k}}\omega _{1},\,\,B_{k}=\int _{b_{k}}\omega _{1},$

$A_{k}^{\prime }=\int _{a_{k}}\omega _{3},\,\,B_{k}^{\prime }=\int _{b_{k}}\omega _{3},\,k=1,2,...,g,$

причому цикли $a_{k},\,b_{k}$ не проходять через полюси $\omega _{3}$. Нехай точка $P_{0}\,\in \,\!S$ не лежить на циклах $a_{k}$ і $b_{k}$, а $L_{j}$ — шлях від $P_{0}$ до $P_{j}$. Тоді маємо білінійні співвідношення для диференціал Абеля І і ІІІ роду:

$\sum _{k=1}^{g}\left(A_{k}B_{k}^{\prime }-A_{k}^{\prime }B_{k}\right)=2\pi i\sum _{j=1}^{n}c_{j}\int _{L_{j}}\omega _{1}$.

Аналогічні співвідношення існують і між диференціалами Абеля І і ІІ роду.

Довільний диференціал Абеля ІІІ роду, окрім А- і В- періодів (циклічних), має ще полярні періоди виду $2\pi ic_{j}$ вздовж циклів, гомологічних нулю, але таких, що охоплюють полюси $P_{j}$. Таким чином для довільного циклу $\gamma$ маємо:

$\int _{\gamma }\omega _{3}=\sum _{k=1}^{g}\left(l_{k}A_{k}+l_{g+k}B_{k}\right)+2\pi i\sum _{j=1}^{n}m_{j}c_{j},$

де $l_{k},\,l_{g+k},\,m_{k}$ — цілі числа.

Див. також

• Список об'єктів, названих на честь Нільса Генріка Абеля

Джерела

• Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 1./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1985
• Спрингер Дж., Введение в теорию римановых поверхностей, пер. с англ., М., 1960;
• Неванлинра Р., Униформизация, пер. с нем., М., 1955;
• Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических функций, М.— Л., 1948.