Сингулярні міри

У теорії міри дві міри $\mu$ і $\nu$ визначені в одному вимірному просторі називаються взаємно сингулярними якщо для деякої вимірної множини її міра $\mu$ є рівною нулю і міра $\nu$ на її доповненні є рівною нулю.

Формальне означення

Нехай $(X,{\mathcal {F}})$ — вимірний простір, а $\mu$ і $\nu$ — міри над цим простором. Ці міри називаються взаємно сингулярними, (позначається $\mu \perp \nu ,$ ) якщо існує розбиття X на дві непорожні множини $A,B\in {\mathcal {F}}$ із порожнім перетином для яких:

\mu

є рівною нулю для всіх вимірних підмножин у

B,

а

\nu

є рівною нулю для всіх вимірних підмножин у

A.

Узагальнення

Очевидно, що у попередньому означенні достатньо вимагати щоб значення міри $\mu$ було нульовим для $B,$ а значення міри $\nu$ нульовим на $A.$ Проте у виді поданому вище його легко можна узагальнити на заряди, комплексні і векторні міри. Якщо ці структури є σ-адитивними і заданими на вимірному просторі, то у відповідному означенні достатньо замінити слово міра на заряд, комплексну чи векторну міру.

Еквівалентно у випадку σ-адитивних зарядів на вимірному просторі можна сказати, що $\mu$ і $\nu$ є взаємно сингулярними, якщо їх повні варіації $|\mu |$ і $|\nu |$ є взаємно сингулярними як міри.

Якщо міра чи заряд є заданими лише на алгебрі множин або не є σ-адитивними іноді розглядається слабше поняття взаємної сингулярності: заряди (не обов'язково σ-адитивні ) $\mu$ і $\nu$ на просторі із алгеброю множин $(X,{\mathcal {F}})$ називають слабко взаємно сингулярними, якщо для довільного $\varepsilon >0$ існують непорожні множини $A,B\in {\mathcal {A}}$ із порожнім перетином для яких $|\mu |(A)<\varepsilon$ і $|\nu |(B)<\varepsilon$ . Якщо два заряди є взаємно сингулярними то вони є і слабко взаємно сингулярними. У випадку σ-адитивних зарядів на вимірному просторі ці два поняття є еквівалентними.

Приклади

Дельта-функція Дірака, зосереджена у точці евклідового простору задає сингулярну міру (відносно міри Лебега). Відповідна міра є рівною 1 для вимірних множин, що містять вказану точку і 0 для множин, що не містять її.
Розподіл Кантора має неперервну (але не абсолютно неперервну) функцію розподілу (функцію Кантора). Незважаючи на неперервність функції розподілу, відповідна міра ймовірності є сингулярною із мірою Лебега. Іншими подібними прикладами є функції Мінковського і Салема. В усіх випадках міру конкретної вимірної множини $A\subset [0,1]$ можна одержати за допомогою інтеграла Лебега — Стілтьєса, як $\mu (A)=\int _{A}1df.$ Наприклад для випадку із функцією Кантора, якщо $C$ — множина Кантора то $\mu (C)=\int _{C}1df=1$ і $\mu ([0,1]\setminus C)=\int _{[0,1]\setminus C}1df=0$ , а міра Лебега множини Кантора дорівнює нулю. Тоді $C$ і $[0,1]\setminus C$ і є тим розбиттям, яке демонструє взаємну сингулярність міри Лебега і міри породженої функцією Кантора на одиничному інтервалі.